高一数学集合的基本概念

1、知识讲解

§1  集合的概念

问题：下面8个问题的研究对象是什么？对象的全体又称为什么?

1、1--20以内的所有素数(质数)

2、我国从1991--2003年的13年内所发射的所有人造卫星

3、金星汽车厂2003年生产的所有汽车

4、2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家

5、所有正方形

6、到直线l的距离等于定长d的所有点

7、方程x2+3x-2=0的所有实数根

8、兴华中学2004年9月入学的所有高一学生

<定义>一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

<表示方法>集合通常用大括号{  }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，

            而元素用小写的拉丁字母a,b,c…，或数字、式子等表示。

            例如A={1,3,a,c,a+b}

<集合相等>构成两个集合的元素完全一样。例如A={ 1，2，3 }，B={ 3,2,1 }则A=B

<元素与集合的关系>(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种)

⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。

<常用的数集及记法>

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.

整数集，记作Z；　　有理数集，记作Q；　　　　实数集，记作R；

【练习】 1、A表示“1~20以内的所有素数”组成的集合是                  则有3   A，

4   A，7   A，9   A，13   A，15   A.      填（或）

 2、 A={2，4，8，16}，则4   A，8   A，32   A.     填（或）

 3、用“∈”或“”符号填空：

 ⑴8   N；      ⑵0    N；    ⑶-3    Z；     ⑷    Q；    （5）-14    R

 (6)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国    A，美国    A，印度    A，英国    A

     (7) 若A={x|x2=x}则-1   A；    (8)若B={x2+x-6=0}，则3   B

      4、 若{t},求t的值。

<关于集合的元素的特征>

 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

      如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” 

     （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大

      的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

 ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

     如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2

  ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

【练习】1、判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

⑴大于3小于11的偶数；                 　　　

⑵我国的小河流；                              

⑶非负奇数；                                　　　

⑷方程x2+1=0的解；                      

⑸某校2011级新生；                        　　　

⑹血压很高的人；                            

⑺著名的数学家；                              　　　

⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点                           

      2、已知集合P的元素为,  若2∈P且-1P，求实数m的值。

   §2  集合的表示方法

<列举法>把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：A={1，2，3，4，5}，B={x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

说明：1、书写时，元素与元素之间用逗号分开；

      2、一般不必考虑元素之间的顺序；

      3、集合中的元素可以为数，点，代数式等；

      4、列举法可表示有限元素集，也可以表示无限元素集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。

      5、对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略  号，象自然数集Ｎ用列举法表示为

【练习】用列举法表示下列集合：

(1)小于5的正奇数组成的集合；                                            

(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；                                                        

(3)从51到100的所有整数的集合；                                         

(4)小于10的所有自然数组成的集合；                                       

(5)方程的所有实数根组成的集合；                                    

⑹ 由1~20以内的所有质数组成的集合。                             

<描述法>用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式： 

 如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；

说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{ 　}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。

用符号描述法表示集合时应注意：

１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？

２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。例如A={x|y=}

【练习】用描述法表示下列集合：

(1)由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合;                                 

(2)到定点距离等于定长的点的集合;                                                         

(3)方程的所有实数根组成的集合                                

(4)由大于10小于20的所有整数组成的集合。                             

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意， 

         一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

<文氏图>集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即

画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示： 

表示{3，9，27}

表示任意一个集合A 

【练习】50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确  得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有      人.

<集合的分类>

观察下列三个集合的元素个数

1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};  

 2. {xR∣0  3. {xR∣x2+1=0}

由此可以得到

集合的分类

【练习】用适当的方法表示集合：　　

    1. 大于0的所有奇数                           。

    2．集合A＝{x|∈Z，x∈N}，则它的元素是                   。

    3.已知集合A＝{x|-3　　4、设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：AiAj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3.满足关系式=(xx) A2=A0的x(x∈S)的个数为              

    5、定义集合运算：.设, ,则集合的所有元素之和为                   

    6、某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有     人.

    7、判断下列两组集合是否相等？

（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1};     (2)A={自然数}与B={正整数}

§3  集合间的基本关系

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：

 （1），；（                 ）

（2），； 

（             )

（3）， （              ）  

观察总结可得：集合和集合的关系是（包含/不包含）

<子集>对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这 两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。 

    记作：      读作：A包含于B，或B包含A

    当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B(或B⊉A)

    用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

求（1）的子集分别为                                                    

<集合相等定义>如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B

     中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。

  如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。

<真子集定义>若集合且A≠B，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集。 

            记作：A  B（或B A）    读作：A真包含于B（或B真包含A）

<空集定义>不含有任何元素的集合称为空集。记作： 

用适当的符号填空：

     ； 0      ；      {}；       {}

<几个重要的结论>

  ⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。

  ⑵空集是任何非空集合的真子集；

  ⑶任何一个集合是它本身的子集；

  ⑷对于集合A，B，C，如果，且，那么。

【练习】填空：

   ⑴2   N；          N；            A;       

   ⑵已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则 

 A     B；    A     C；    {2}     C；      2     C

强调说明：

⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；

⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

⑶结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，

        特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

【练习】1、写出集合｛a,b,c｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。

2、已知集合M满足｛2,3｝M｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M

3、已知集合A＝｛x|x2-2x-3=0｝,B=｛x|ax=1｝若BA，则实数a的值构成的集合是（   　）

A.｛-1,0,｝    B.｛-1,0｝     C.｛-1,｝    D.｛,0｝

4、设集合A=｛２，８，a｝B=｛2,a2-3a+4｝且BA，求a的值。

5、已知集合且，求实数m的取值范围。      

二、课后练习

1、考察下列对象是否能形成一个集合？为什么？

①身材高大的人           （   ）   ②所有的一元二次方程（   ）

③直角坐标平面上纵横坐标相等的点 （   ） ④细长的矩形的全体（   ）

⑤比2大的几个数  （   ）           ⑥的近似值的全体（   ）

⑦所有的小正数      （   ）         ⑧所有的数学难题（   ）

2、给出下面四个关系: R,0.7Q,0{0},0N,其中正确的个数是:(  )

A．4个        B．3个      C．2个      D．1个

3、下面有四个命题:①若-aΝ,则aΝ        ②若aΝ,bΝ,则a+b的最小值是2

       ③集合N中最小元素是1     ④ x2+4=4x的解集可表示为{2,2}

其中正确命题的个数是(  ）A．4个 B．3个  C．2个  D  1个

4、由实数-a, a, ,2, -5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别是什么?

5、求集合{2a,a2+a}中a应满足的条件?

6、已知集合的元素全为实数，且满足：若，则。

(1)若，求出中其它所有元素；

(2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？

(3)根据(1)(2)，你能得出什么结论

7、给出下列四个关系式：①∈R；②πQ；③0∈N；④0其中正确的个数是(     )

　　    A.1               B.2               C.3            D.4

8、方程组　　　　　　的解组成的集合是(     )

   A.｛2,1｝    B.｛-1,2｝    C.（2,1）   D.｛（2,1）｝

9、把集合｛-3≤x≤3,x∈N｝用列举法表示，正确的是(     )

　　 A.｛3,2,1｝   B.｛3,2,1,0｝  C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝

10、下列说法正确的是(     )

A.｛0｝是空集　B.　｛x∈Q∣∈Z｝是有限集

C.｛x∈Q∣x2+x+2=0｝是空集     D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合

11、设集合A＝｛１，a,b｝,B=｛a,a２,ab｝,且A=B，求实数a，b.

12、判断下列集合的关系.

 (1) N_____Z;      (2) N_____Q;      (3) R_____Z;      (4) R_____Q;

 (5) A={x| (x-1)2=0}，B={y|y2-3y+2=0};    (6) A={1,3}，B={x|x2-3x+2=0};

 (7) A={-1,1}，B={x|x2-1=0};   （8）A={x|x是两条边相等的三角形}，B={x|x是等腰三角形}。

13、设A={0，1}，B={x|xA}，问A与B什么关系？

14、判断下列说法是否正确？

（1）NZQR；    （2）AA；  （3）{圆内接梯形}{等腰梯形}； 

 （4）NZ；        （5）{}；          （6）{}

15、有三个元素的集合A，B，已知A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，y的值。

16、已知集合，≥，且满足，求实数的取值范围。

17、已知三个元素集合A＝｛x,xy, x-y｝,B=｛0,∣x∣,y｝且A=B，求x与y的值。