2016年高考全国2卷理数试题(解析版)

理科数学

注意事项：

    1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.

    2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

    3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 

    4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是

（A）  （B）  （C）  （D）

【解析】A

∴，，∴，故选A．

（2）已知集合，，则

（A）    （B）

（C）  （D）

【解析】C

，

∴，∴，

故选C．

（3）已知向量，且，则m=

（A）  （B）  （C）6  （D）8

【解析】D

 ，

∵，∴

解得，

故选D．

（4）圆的圆心到直线 的距离为1，则a=

（A）     （B）   （C）  （D）2

【解析】A

圆化为标准方程为：，

故圆心为，，解得，

故选A．

（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A）24  （B）18  （C）12  （D）9

【解析】B

有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法

故选B．

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π  （B）24π  （C）28π  （D）32π

【解析】C

几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．

由图得，，由勾股定理得：，

，

故选C．

（7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为

（A）  （B）

（C）  （D）

【解析】B

平移后图像表达式为，

令，得对称轴方程：，

故选B．

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的a为2，2，5，则输出的

（A）7  （B）12  （C）17  （D）34

【解析】C

 第一次运算：，

第二次运算：，

第三次运算：，

故选C．

（9）若，则=

（A）  （B）  （C）  （D）

【解析】D

∵，，

故选D．

（10）从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为

（A）       （B）     （C）  （D）

【解析】C

由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在

如图所示的阴影中

由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．

（11）已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，sin ,则E的离心率为

（A）      （B）   （C）     （D）2

【解析】A

 离心率，由正弦定理得．

故选A．

（12）已知函数满足，若函数与图像的交点

为，，⋯，，则

（A）0   （B）m   （C）2m    （D）4m

【解析】B

由得关于对称，

而也关于对称，

∴对于每一组对称点 ，

∴，故选B．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．

（13）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，

则       ．

【解析】 

∵，，

，，

，

由正弦定理得：解得．

（14），是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：

①如果，，，那么．

②如果，，那么．

③如果，，那么．

④如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等．

【解析】②③④

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是       

【解析】 

由题意得：丙不拿（2，3），

若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，

若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，

故甲（1，3），

（16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，      ．

【解析】 

的切线为：（设切点横坐标为）

的切线为：

∴

解得  

∴．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．

（Ⅰ）求，，；

（Ⅱ）求数列的前项和．

【解析】⑴设的公差为，，

∴，∴，∴．

∴，，．

⑵记的前项和为，则

．

当时，；

当时，；

           当时，；

当时，．

∴．

（18）（本小题满分12分）

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，

．

⑵设续保人保费比基本保费高出为事件，

．

⑶解：设本年度所交保费为随机变量．

   ，

∴平均保费与基本保费比值为．

（19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，，点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置.

（）证明：平面ABCD；

（）求二面角的正弦值.

【解析】⑴证明：∵，

∴，

∴．

∵四边形为菱形，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴；

又，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

又∵，

∴面．

⑵建立如图坐标系．

，，，，

，，，

设面法向量，

由得，取，

∴．

同理可得面的法向量，

∴，

∴．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（）当，时，求△AMN的面积；

（）当时，求k的取值范围.

【解析】 ⑴当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，

则直线AM的方程为．

联立并整理得，

解得或，则

因为，所以

因为，，

所以，整理得，

无实根，所以．

所以的面积为．

⑵直线AM的方程为，

联立并整理得，

解得或，

所以

所以

因为

所以，整理得，．

因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得

解得．

（21）（本小题满分12分）

(I)讨论函数的单调性，并证明当时， 

(II)证明：当 时，函数 有最小值.设的最小值为，求函数的值域.

【解析】⑴证明：

   ∵当时，

   ∴在上单调递增

   ∴时，

   ∴

⑵ 

   由(1)知，当时，的值域为，只有一解．

   使得，

当时，单调减；当时，单调增

记，在时，，∴单调递增

∴．

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.

(I) 证明：B，C，G，F四点共圆；

(II)若，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

【解析】（Ⅰ）证明：∵

∴

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∴．

∴B，C，G，F四点共圆．

（Ⅱ）∵E为AD中点，，

∴，

∴在中，，

连接，，

∴．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xOy中，圆C的方程为．

（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（II）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率．

【解析】解：⑴整理圆的方程得，

        由可知圆的极坐标方程为．

        记直线的斜率为，则直线的方程为，

        由垂径定理及点到直线距离公式知：，

        即，整理得，则．

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数，M为不等式的解集.

（I）求M；

（II）证明：当a，时，．

【解析】解：⑴当时，，若；

当时，恒成立；

当时，，若，．

综上可得，．

⑵当时，有，

即，    

则，

则，

即，

     证毕．