应用回归分析证明题及答案

一.证明残差满足的约束条件：，。

证明：由偏导方程即得该结论：

                                         证毕.

二.证明平方和分解式：。

证明：

                                             证毕.

三.证明三种检验的关系：

（1）；(2) 

证明：由于 

所以                

证毕.

四．证明：。

证明：由于

于是

                                                证毕.

五．证明：在一元回归中，。

证明：

                                    证毕.

六．证明：是误差项方差的无偏估计。

证明：由于            

而                    

所以

                                 证毕.

七．证明：；。

证明：

                                    证毕.

八．证明：在多元线性回归中，假设，则随机向量。九．证明：当时，则：

（1）；（2）。

证明：

（1）因为，是固定的设计矩阵，因此，是的线性变换。

又当时，有随机向量，所以服从正态分布，且

，即有。

（2）：由于

借助于定理：设 ，为 对称阵，秩为r，则当满足： ，二次型，只需证明：即可。

因为是幂等阵，所以有，故

                                          证毕.

十．证明：在多元线性回归中，最小二乘估计与残差向量不相关，即。

证明： 

                                      证毕.

十一．证明：，其中。

证明：由于

如果认为，则有，所以

.

                                       证毕.

十二. 试证明：在二元线性回归模型                           中，当和 相互时，对回归系数 和的OLS估计值，等于分别对和做简单线性回归时回归系数的OLS估计值。