高中数学复合函数练习题

一、复合函数定义：　设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题：

（一）例题剖析：

(1)、已知的定义域，求的定义域

思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。

例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。

解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）

又f对lnx作用，作用范围不变，所以

解得，故函数的定义域为（1，e）

例2. 若函数，则函数的定义域为______________。

解析：先求f的作用范围，由，知

即f的作用范围为，又f对f(x)作用

所以，即中x应满足

即，解得

故函数的定义域为

（2）、已知的定义域，求的定义域

思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。

例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。

解析：的定义域为，即，由此得

所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以

即函数的定义域为

例4. 已知，则函数的定义域为______________。

解析：先求f的作用范围，由，知

解得，f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以，即的定义域为

（3）、已知的定义域，求的定义域

思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。

例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。

解析：的定义域为，即，由此得

的作用范围为

又f对作用，所以，解得

即的定义域为

评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

（二）同步练习：

1、 已知函数的定义域为，求函数的定义域。

答案：

2、 已知函数的定义域为，求的定义域。

答案：

3、 已知函数的定义域为，求的定义域。

答案：

4、设，则的定义域为（       ）

  A.   

C.  D. 

解：选C.由得，的定义域为。故，解得。故的定义域为

5、已知函数的定义域为，求的定义域。

［解析］由已知，有

（1）当时，定义域为；

（2）当，即时，有，

定义域为；

（3）当，即时，有，

定义域为.

故当时，定义域为；

当时，定义域为

［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数.若在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间 ）上是增函数.

证明：在区间）内任取两个数，使

因为在区间）上是减函数，所以,记, 即

因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，

故函数在区间）上是增函数.

（2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

（3）、复合函数的单调性判断步骤：

ⅰ   确定函数的定义域； 

ⅱ   将复合函数分解成两个简单函数：与。

ⅲ   分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ   若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数；  若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。

（4）例题演练

例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明

解：定义域 

单调减区间是   设 则 

=

∵   ∴  

∴>     又底数 

∴      即 

∴在上是减函数

同理可证：在上是增函数

［例］2、讨论函数的单调性.

［解］由得函数的定义域为

则当时，若，∵为增函数，∴为增函数.

若，∵为减函数.

∴为减函数。

当时，若，则为减函数，若，则为增函数.

例3、.已知y=(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.

解：∵a＞0且a≠1

当a＞1时，函数t=2->0是减函数

由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是增函数，

∴a＞1

由x［0，1］时，2-2-a＞0,得a＜2,

∴1＜a＜2

当00是增函数

由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是减函数，

∴0由x［0，1］时，2-2-1＞0, ∴0综上述，0例4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设.问是否存在实数使得在区间上是减函数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。

［解析］由已知，得，

其中 ∴即，

解得

∵为负整数，∴

∴，

即 ，

∴

假设存在实数，使得满足条件，设，

∴

∵，当时，为减函数，

∴，∴

∵,∴,

∴,

∴  ①

当时, 增函数,∴

∵,∴,

∴.  ②

由①、②可知，故存在

（5）同步练习：

1．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　）

A．（－∞，1）     B．（2，＋∞）

C．（－∞，）     D．（，＋∞）

解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．

答案：B

2找出下列函数的单调区间.

（1）；

（2）

答案：(1)在上是增函数，在上是减函数。

（2）单调增区间是，减区间是。

3、讨论的单调性。

答案：时为增函数，时，为增函数。

4．求函数y＝（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．

解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上为减函数，在［，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．

变式练习

　　一、选择题

　　1．函数f（x）＝的定义域是（　　）

　　 A．（1，＋∞）     B．（2，＋∞）

　　 C．（－∞，2）     D．

　　解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，

　　所以解得1＜x≤2．

　　答案：D

　　2．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　）

　　 A．（－∞，1）     B．（2，＋∞）

　　 C．（－∞，）     D．（，＋∞）

　　解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．

　　答案：B

　　3．若2（x－2y）＝x＋y，则的值为（　　）

　　 A．4       B．1或

　　 C．1或4      D．

　　错解：由2（x－2y）＝x＋y，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有＝或＝1．

　　答案：选B

　　正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．

　　答案：D

　　4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（　　）

　　 A．（0，）      B．（0，）

　　 C．（，＋∞）     D．（0，＋∞）

　　解析：因为x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．当f（x）＞0时，根据图象只有0＜2a＜l，解得0＜a＜（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．

　　答案：A

　　5．函数y＝（－1）的图象关于（　　）

　　 A．y轴对称      B．x轴对称

　　 C．原点对称      D．直线y＝x对称

　　解析：y＝（－1）＝，所以为奇函数．形如y＝或y＝的函数都为奇函数．

　　答案：C

　　二、填空题

　　已知y＝（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．

　　解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是减函数，要使y＝（2－ax）是减函数，则a＞1，又2－ax＞0a＜（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．

　　答案：a∈（1，2）

　　7．函数f（x）的图象与g（x）＝（）x的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）的单调递减区间为______．

　　解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）＝x

　　则f（2x－x2）＝（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．

　　（x）＝2x－x2在（0，1）上单调递增，则f［（x）］在（0，1）上单调递减；

　　（x）＝2x－x2在（1，2）上单调递减，则f［（x）］在［1，2）上单调递增．

　　所以f（2x－x2）的单调递减区间为（0，1）．

　　答案：（0，1）

　　8．已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（）＝0，

　　则不等式f（log4x）的解集是______．

　　解析：因为f（x）是偶函数，所以f（－）＝f（）＝0．又f（x）在［0，＋∞］上是增函数，所以f（x）在（－∞，0）上是减函数．所以f（log4x）＞0log4x＞或log4x＜－．

　　解得x＞2或0＜x＜．

　　答案：x＞2或0＜x＜

　　三、解答题

　　9．求函数y＝（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．

　　解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上为减函数，在［，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．

　　10．设函数f（x）＝＋，

　　（1）求函数f（x）的定义域；

　　（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；

　　（3）已知函数f（x）的反函数f－1（x），问函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．

　　解：（1）由3x＋5≠0且＞0，解得x≠－且－＜x＜．取交集得－＜x＜．

　　（2）令（x）＝3x＋5，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；

　　＝－1＋随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．

　　又y＝lgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y＝是减函数，所以f（x）＝＋是减函数．

　　（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．

　　设函数f（x）的反函数f－1（x）与工轴的交点为（x0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0＝．所以函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点，交点为（，0）。

一．指数函数与对数函数 

．同底的指数函数与对数函数互为反函数；

（二）主要方法：

1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 

2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；

3．比较几个数的大小的常用方法有：①以和为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．

（三）例题分析：

例1．（1）若，则，，从小到大依次为          ；

    （2）若，且，，都是正数，则，，从小到大依次为          ；

    （3）设，且（，），则与的大小关系是  （     ）

        （）     （）   （）  （）

解：（1）由得，故．

  （2）令，则，，，，

    ∴，∴；

    同理可得：，∴，∴．（3）取，知选（）．

例2．已知函数，

求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根．

证明：（1）设，

则

，

∵，∴，，，

∴；

∵，且，∴，∴，

∴，即，∴函数在上为增函数；

（2）假设是方程的负数根，且，则，

 即，       ①

 当时，，∴，∴，而由知，

∴①式不成立；

 当时，，∴，∴，而，

∴①式不成立．

综上所述，方程没有负数根．

例3．已知函数（且）．（《高考计划》考点15，例4）．

求证：（1）函数的图象在轴的一侧；

     （2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于．

证明：（1）由得：，

∴当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的右侧；

当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的左侧．

∴函数的图象在轴的一侧；

（2）设、是函数图象上任意两点，且，

则直线的斜率，，

当时，由（1）知，∴，∴，

∴，∴，又，∴；

当时，由（1）知，∴，∴，

∴，∴，又，∴．

∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于．