数学破题36计 第1计 芝麻开门 点到成功

第1计  芝麻开门  点到成功

●计名释义

七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了. 

数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了. 

●典例示范

［例题］ （2006年鄂卷第15题）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出

，其中      . 

令，则       . 

［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意. 

莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点的主意. 

［解Ⅰ］  将等式与右边的顶点三角形对应（图右），自然有      

对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1

对一般情况讲，就是x = r+1  这就是本题第1空的答案. 

［插语］  本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1. 

第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项. 

［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项，并将和数列中的各项依次“以点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an . 这个an，就等于首项左上角的那个. 因为在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0. 

因此得到 这就是本题第2空的答案. 

［点评］ 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数就是问题的答案. 

   事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是这个数的左上角的那个数. 用等式表示就是

    ［链接］ 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下. 

［法1］ 由知，可用合项的办法，将的和式逐步合项. 

［法2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故，从而

［法3］ （2）将代入条件式，并变形得

取令得

          ，

     …   …   …

以上诸式两边分别相加，得     

［说明］ 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义. 

●对应训练

1．如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.

2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为           . 

●参考解答

1．找“点”——椭圆的另一个焦点F2. 

连接P1F2 、P2F2 、…、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10

如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = … =FP7 + P7F2 = 7×10 = 70

由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35.

2．找“点”——动点P、Q的极限点. 

如图所示，令A1P = CQ = 0. 即动点P与A1重合，动点Q与C重合.

则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1 .

显然V棱柱.

∴∶=

于是奇兵天降——答案为.

［点评］ “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.