高考正弦和余弦定理题型复习

一、基础知识梳理

1正弦定理：== =2R（R为△ABC外接圆半径），了解正弦定理以下变形：

最常用三角形面积公式：

2正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角； （唯一解）

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）

了解：已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:

3．余弦定理 ：

4．余弦定理可以解决的问题：

（1）已知三边，求三个角；（解唯一）

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（解唯一）：

（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角（解    

5.三角形内角的诱导公式

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin,sin=cos……

(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；

(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列

7、正余弦定理的应用：

1.正弦定理适用于有两个角存在的情况，下图是“边边角”的情况：（aa=bsinA，一解      b sinAb，一解

2.余弦定理应用于两种情况：

（1）已知三边求三角  （2）两边一角

8.用向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和方向.

9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.

考点一 正弦定理的应用

    利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．

例、(1)(2010年高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．

(2)满足A＝45°，a＝2，c＝的△ABC的个数为________．

考点二 余弦定理的应用

利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的．

例、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

(1)若△ABC的面积等于，求a，b的值；

(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．

【例1】在中，若，,，则              .

【例2】在△ABC中，已知=,=,B=45°,求A、C和.

【例3】在△ABC中，若a=2, b=2, c=2,则∠A的度数是(      )

(A) 30°       (B)  45°       (C)  60°        (D) 75°

【例4】边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为(      )

(A) 90°       (B)  120°       (C)  135°        (D) 150°

【例5】在△ABC中，若∠B=30°, AB=2, AC=2, 则△ABC的面积是         

【例6】设的内角所对的边分别为.已知，，.（Ⅰ）求的周长；（Ⅱ）求的值.

题型3：利用正余弦定理求三角形的面积

三角形一般由三个条件确定，比如已知三边a，b，c，或两边a，b及夹角C，可以将a，b，c或a，b，C作为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中．

例7．在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．

例8.(2010·辽宁营口检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足

    sin A－cos A＝0，cos B＝，b＝2.

(1)求sin C的值；(2)求△ABC的面积．

例9.(2009·安徽)在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝      .

(1)求sin A的值；(2)设AC＝ ，求△ABC的面积．

【同类型强化】1. 在中，已知角、、所对的边分别是、、，边，且，又的面积为，求的值．

【同类型强化】2. 在锐角三角形中，边、是方程的两根，角、满足，求角的度数，边的长度及的面积．

【同类型强化】3.（2009湖北卷文）（本小题满分12分）  在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且(Ⅰ)确定角C的大小（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。

【同类型强化】4.（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足， ．   （I）求的面积；   （II）若，求的值．

【同类型强化】5.（2009北京理）（本小题共13分） 在中，角的对边分别为，。（Ⅰ）求的值；   （Ⅱ）求的面积.

4、巧妙求值

例1、在△中，若，则等于（    ）

A．        B．         C．          D．

例2、在△ABC中，若_______

例3、在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于(　   )

　　A．3            B．　　C．            D．

例4、已知△ABC的周长为9，且，则cosC的值为    （    ）

    A．    B．    C．    D．

例5、在ABC中，三边a，b，c与面积s的关系式为则角C 为

  A           B          C        　D　 

5、判断三角形形状

【解题思路】判定三角形形状时，一般利用“角化边”或“边化角”进行化简消元；若是判断三角形是钝角、直角还是锐角三角形，直接观察最大角

三角形形状的判定题型：利用正余弦定理判断三角形形状

两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

(3)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别

例1、在△ABC中，已知，请判断△ABC的形状。

例2、在△ABC中，已知，请判断△ABC的形状。

例3、在△ABC中，bcosA＝cosB，试判断三角形的形状.

[解析]：利用正弦定理将边转化为角.

∵bcosA＝cosB 又b＝2RsinB，＝2RsinA

∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB  ∴sinAcosB－cosAsinB＝0

∴sin（A－B）＝0  ∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π

∴A－B＝0，即A＝B故三角形是等腰三角形.

例4、在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是.(    )

A.等腰直角三角形        B.直角三角形   C.等腰或直角三角形        D.等边三角形

例5.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）

A.等腰直角三角形  B.直角三角形 等腰三角形  D.等边三角形

例6.若△的三个内角满足，则△      （ ）

（A）一定是锐角三角形.         （B）一定是直角三角形.

（C）一定是钝角三角形.          (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

例3、(2010年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且

2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.

(1)求A的大小；

(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

例7.在 中，a,b,c 分别表示三个内角A,B,C的对边，如果  ，判断三角形的形状．

例8.在△ABC中，已知，试判断此三角形的形状。 

【同类型强化】1.在ABC中,若,试判断ABC的形状

【同类型强化】2.（2010上海文数）若的三个内角满足，则（  ）

A．一定是锐角三角形.          B．一定是直角三角形.

C．一定是钝角三角形.          D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

【同类型强化】3．△ABC中，2sinAcosB=sinC，则此三角形的形状是      （    ）

(A)等腰△          (B) 等腰或者直角△  (C)等腰直角△     (D)直角△

．

互动探究  

1　若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．．

方法感悟:

方法技巧

解三角形常见题型及求解方法

(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，c.

(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA, 求出a，再由正弦定理，求出角B，C.

(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由＝，求出c，而通过＝求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法如下表：

失误防范

1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．

2．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sin＝cos，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等．

3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”

7【取值范围问题】

1、已知ABC中， AB=1，BC=2，则角 C的取值范围是（    ）

  A       B       C      D 

2、设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是(    )

A.0＜m＜3        B.1＜m＜3        C.3＜m＜4        D.4＜m＜6

3、钝角三角形ABC的三边长为连续自然数，则这三边长为（    ）

  A  1，2，3      B  2，3，4        C  3，4，5       D  4，5，6 

4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为          

A  锐角三角形 B 直角三角形  C 钝角三角形  D 由增加的长度决定

5. 设A，B，C为三角形的3个内角，且方程有2个相等实根，那么（    ）

  A         B          C         D  

6、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）

A．   B．  C． D． 

题型8：与三角函数结合的综合问题

三角函数作为联系代数与几何问题的纽带和桥梁，往往出现在综合题中——解三角形就是这样一种常见而又典型的问题，在三角形的三角变换中，正、余弦定理是解题的基础．

例6. △ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝    ， 

 sin(B－A)＝cos C.   (1)求A，C；    (2)若S△ABC＝3＋   ，求a，c. 

【同类型强化】(2009·山东卷)已知函数f(x)＝2sin xcos2   ＋cos xsin －sin x(0＜＜π)在x＝π处取最小值．(1)求的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a＝1，b＝  ，f(A)＝ ，求角C.

题型4：实际问题

例7.(2009·福建厦门调研)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东    30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

例8.要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距100 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 

【同类型强化】2.某海轮以30海里∕时的速度航行，在A点测得海平面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30，海轮改为东偏北60在航行80分钟到达C点，求P、C间的距离。