高中数学训练题及解析——函数的单调性和最值

一、选择题

1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是(　　)

A．递减函数　　　　　　　B．递增函数

C．先减后增  D．先增后减

答案　C

解析　对称轴为x＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．

2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0”的是(　　)

A．f(x)＝　　　　　　　B．f(x)＝(x－1)2

C．f(x)＝ex  D．f(x)＝ln(x＋1)

答案　A

解析　满足<0其实就是f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选A.

3．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是(　　)

A．a<－3  B．a≤－3

C．a>－3  D．a≥－3

答案　B

解析　对称轴x＝1－a≥4.∴a≤－3.

4．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1,0]上的减函数的是(　　)

A．y＝cosx  B．y＝－|x－1|

C．y＝ln  D．y＝ex＋e－x

答案　D

5．函数y＝loga(x2＋2x－3)，当x＝2时，y>0，则此函数的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，－3)  B．(1，＋∞)

C．(－∞，－1)  D．(－1，＋∞)

答案　A

解析　当x＝2时，y＝loga(22＋2·2－3)

∴y＝loga5>0，∴a>1

由复合函数单调性知

单减区间须满足，解之得x<－3.

6．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1、x2都成立．在下列不等式中，正确的是(　　)

A．f(－5)>f(3)　　　　　　  B．f(－5)C．f(－3)>f(－5)  D．f(－3)答案　C

解析　由>0对任意两个不相等的正实数x1、x2都成立，可知，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(x)为奇函数，故f(x)在(－∞，0)上也为增函数，故选C.

7．函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋5)的一个递增区间是(　　)

A．(3,8)  B．(－7，－2)

C．(－2，－3)  D．(0,5)

答案　B

解析　令－28．(09·天津)已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－1,2)

C．(－2,1)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

答案　C

解析　y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4在(－∞，0)上单调递增．

又x2＋4x－(4x－x2)＝2x2≥0，

∴f(2－a2)＞f(a)⇒2－a2＞a⇒a2＋a－2＜0⇒－2＜a＜1，故选C.

9．(2010·北京卷)给定函数①y＝x；②y＝log (x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是(　　)

A．①②  B．②③

C．③④  D．①④

答案　B

解析　①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y＝logx向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y＝x－1的图象保留x轴上方的部分，下方的图象翻折到x轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.

二、填空题

10．给出下列命题

①y＝在定义域内为减函数；

②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上是增函数；

③y＝－在(－∞，0)上为增函数；

④y＝kx不是增函数就是减函数．

其中错误命题的个数有________．

答案　3

解析　①②④错误，其中④中若k＝0，则命题不成立．

11．函数f(x)＝|logax|(0答案　[1，＋∞)

解析　函数图象如图

12．函数f(x)＝－x2＋|x|的递减区间是________．

答案　与

解析　数形结合

13．在给出的下列4个条件中，

①  ②

③  ④

能使函数y＝loga为单调递减函数的是________．

(把你认为正确的条件编号都填上)．

答案　①④

解析　利用复合函数的性质，①④正确．

14．若奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则不等式f(lgx)＋f(1)>0的解集是________．

答案　(0，)

解析　因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因为f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f(x)在R上为单调递减函数．

不等式f(lgx)＋f(1)>0可化为f(lgx)>－f(1)＝f(－1)，所以lgx<－1，解得0(2010·深圳)若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________．

答案　[－2，＋∞)

解析　由h′(x)＝2＋≥0，得k≥－2x2，由于－2x2在[1，＋∞)内的最大值为－2，于是，实数k的取值范围是[－2，＋∞)．

三、解答题

15．(2011·惠州调研)已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

答案　(1)略　(2)0解析　(1)证明　任设x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.

∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)解　任设1f(x1)－f(x2)＝－＝.

∵a>0，x2－x1>0，

∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.

综上所述知016．函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.

答案　(1)略　(2){m|－1解　(1)证明：设x1，x2∈R，且x10，∴f(x2－x1)>1.

f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)

＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.

∴f(x2)>f(x1)．

即f(x)是R上的增函数．

(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，

∴f(2)＝3，

∴原不等式可化为f(3m2－m－2)∵f(x)是R上的增函数，

∴3m2－m－2<2，解得－1故m的解集为{m|－1