排列、组合及二项式定理

一、 排列、组合

解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

1. 计数原理

（）分类计数原理：……112N m m m n =+++（为各类办法中的方法数）m i （2）分步计数原理：·……N m m m n =12（为各步骤中的方法数）m i 2.排列、组合

2.1 排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有排列的个数记为n m A n m .

()()()()()A n n n n m n n m m n n m =---+=

-≤121……!

!

规定：0!1=

2.2 组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同元素中取出个元素的一个组合，所有组合个数记为m C n m .

()()()C A A n n n m m n m n m n

m

n m m

m

==--+=-11……!!!! 规定：C n 0

1= )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n

m m

m n

m

n

-=+--== 组合数的性质：C C C C C C C C n m n n m n m n m n m n n n n n

=+=+++=--+， (11012)

特别提醒：排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

2.3 解题方法

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

考点一:排列问题

例1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

（1）甲不站两端；A 14·A 5

5=480 （2）甲、乙必须相邻；A 55·A 22=240（ （3）甲、乙不相邻；A 44·A 25=480

（4）甲、乙之间间隔两人；A 24·A 33·A 22=144（种）

2·A4

4

=48（种）

（6）甲不站左端，乙不站右端.①甲站右端有A5

5

种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端

有A1

4·A1

4

·A4

4

种，故共有A5

5

+A1

4

·A1

4

·A4

4

=504（种）站法.

考点二:组合问题

男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；C3

6·C2

4

=120

（2）至少有1名女运动员；C5

10-C5

6

=246

（3）队长中至少有1人参加；C5

10-C5

8

=196

（4）既要有队长，又要有女运动员. C4

9+C4

8

-C4

5

=191

例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.

（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？C1

4C2

4

C1

3

×A2

2

=144

（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？144

（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？C2

4( C3

4

C1

1

A2

2

+

2

2

2

2

2

4

A

C

C·A2

2

）=84 练习

1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种2，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别

从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A, 48 种 B，12种 C，18种 D36种3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 A,48 B, 12 C，180 D，162

4，甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）

A，150种 B，180种 C，300种 D，345种

5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A，6 B，12 C 30 D36

6，用0 到9 这10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A．324 B，328 C，360 D，8

7，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（）A，85 B，56 C，49 D，28 8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A，18 B，24 C，30 D，30 9，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）

A，360 B，288 C，216 D，96

解排列组合的应用题要注意以下几点：

（1） 仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步。 （2） 深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，

全面考虑。 （3） 对条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若

干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。 （4） 由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所

设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解。看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复。

二、 二项式定理

1. 二项式展开式：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n

+=++++++---011222……

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n

b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n .

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是

012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

2.二项展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r

+-==101() C n r 为二项式系数（区别于该项的系数）

3. 性质：

()

（）对称性：，，……，1012C C r n n r n

n r ==- （）系数和：…2C C C n n n n n 012+++=

C C C C C C n n n n n n n 1350241

2

+++=+++=-…… （3）最值：n 为偶数时，n ＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

n C n n n

n

2112

+⎛⎝ ⎫⎭

⎪+项，二项式系数为；为奇数时，为偶数，中间两项的二项式()

（4）奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令1,1a b ==-，则

0123(1)(11)0n n

n n n n n n C C C C C -+-++-=-=，

从而得到：

024213

21

11222r r n

n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=

⨯=

（5）奇数项的系数和与偶数项的系数和：

0011222

0120120011222021210

01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n

n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=+++

+=+

+++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135

(1)(1),()

2

(1)(1),()

2

n n

n n n

n a a a a a a a a a a

a a --

--++-++++=+---+++=②

①②得奇数项的系数和①②得

偶数项的系数和

《典例》

1. 利用通项公式求n

x 的系数、常数项、有理项（与通项相关题）

（1）.在二项式

n 的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数 （2）求二项式

210

(x 的展开式中的常数项

（3）若21()n x x

+的二项展开式中第5项为常数项，则____.

n =

（4

）如果在（x +

421x

）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.

（5）（x

+x

4－4

）4的展开式中的常数项； 2. 奇数项的二项式系数关系

2.1奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和 （1）若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .

设

n

展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅

1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n n

n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=② 将①-②得：

1352()2,n a

a a +++⋅⋅⋅

=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=- 有题意得，1

82

2562n --=-=-，9n ∴=。

（2）若

n

的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

2.2赋值法

例：设二项式

1

)n

x 的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ,若 272p s +=,则n 等于多少？

解：若20121

)n n n a a x a x a x x =+++⋅⋅⋅+，有01n P a a a =++⋅⋅⋅+，02n n

n n S C C =+⋅⋅+=，

令1x =得4n

P =，又272p s +=,即

42272(217)(216)0n n n n

+=⇒+-=解得216217n n ==-或舍去，4n ∴=.

3. 最大系数，最大项

（1）已知1

(2)2n

x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二

项式系数最大项的系数是多少？

（2）在2()n a b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少

4.含有三项变两项、两个因式相乘

（1）求当25

(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？

解法①：2525

(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为144

5423C C x

它的系数为144

5423240C C =。

（2）

342(12)(1)x x x +-求展开式中的系数. 解：

333(12)(2)2,m m m m m x x x +⋅=⋅⋅的展开式的通项是C C 444(1)C ()C 1,0,1

,2,3,0,1,2,3,4,n n n n n

x x x m n -⋅-=⋅-⋅==的展开式的通项是其中 34

2,02,11,20,(12)(1)m n m n m n m n x x +=======+-令则且且且因此

200221111220

03434342(1)2(1)2(1)6x C C C C C C ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-的展开式中的系数等于 5.整除性

（1）证明：

22*

3()n n n N +--∈能被整除 证：

2211

39(81)n n n n n n +++--=--=+-- 0111211

111118888n n n n n n n n n n C C C C C n +-++++++=++⋅⋅⋅+++--

01112

1118888(1)1n n n n n n C C C n n +-+++=++⋅⋅⋅++++--01112111888n n n n n n C C C +-+++=++⋅⋅⋅+ 由于各项均能被整除

22*

3()n n n N +∴--∈能被整除

《排列、组合及二项式定理》真题体验

1 ．（2013年山东）用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （ B ）

A ．243

B ．252

C ．261

D ．279

2 ．（2013年福建数学（理））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有

序数对(,)a b 的个数为 （ B ）

A ．14

B ．13

C ．12

D ．10

3 ．（2013年四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是(C) （ ）

A ．9

B ．10

C ．18

D ．20

4．（2013年浙江数学（理））将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有__480______种(用数字作答)

5．（2013年重庆数学（理））从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是______590____(用数字作答)

6．（2013年北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是____96_____.

7.(湖北13)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（Ⅰ）4位回文数有 90 个；（Ⅱ）21()n n ++∈N 位回文数有

__n

109⨯___个．

8（辽宁5） 一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( C ) A ．33!⨯ B ．()

3

33!⨯ C ．

()4

3!

D ．9!

9.（全国卷大纲版11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也

互不相同，则不同的排列方法共有( A )

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

10.（全国大纲理7）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(B) A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种

11．[2014·北京卷] 把5件不同产品摆成一排．若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__36______种．

12．[2014·广东卷] 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为__1/6____．

13．[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( D )

A．144 B．120 C．72 D．24

14．[2014·四川卷] 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( B )

A．192种 B．216种 C．240种 D．288种

15．[2014·浙江卷] 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给

4个人，每人2张，不同的获奖情况有___60_____种．(用数字作答)

16．[2014·重庆卷] 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出

顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( B )

A．72 B．120 C．144 D．168

17．[2014·安徽卷] 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( C )

A．24对 B．30对 C．48对 D．60对

18.（2010全国卷2理数）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个

信封放2 张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（B）

（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种

19.（2010重庆文数）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天

安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有(C) （A）30种（B）36种（C）42种（D）48种

20.（2010重庆理数）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若

7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案

共有(C)

A. 504种

B. 960种

C. 1008种

D. 1108种

21.（2010全国卷1理数）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从选3门.若

要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A)

(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

22.（2010湖北理数）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人

从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事

其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（B）

A．152 B.126 C.90 D.54

23（2010湖南理数）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字

相同的信息个数为

A.10

B.11

C.12

D.15

24.（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配

方案有种（用数字作答）____36_______

25.(全国卷大纲版)若1()n

x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系

数为 56 。

26（天津理5）

在6

⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为( C )

A ．154-

B ．154

C ．38-

D ．38

27.（全国新课标）

5

1()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项 (D) （A ）—40 （B ）—20 （C ）20 （D ）40

28．（2013年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为

a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为

b ,若137a b =,则m = （ B ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

29．（2013

年辽宁数学（理））使得()3n x n N n +⎛∈ ⎝

的展开式中含有常数项的最小的为 （ B ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

30．[2014·湖北卷] 若二项式⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( C ) A ．2 B.54 C ．1 D.24

31．[2014·全国卷] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y

－y x 8的展开式中x 2y 2的系数为_____70___．(用数字作答)

32．[2014·新课标全国卷Ⅰ] (x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为____-20____．(用数字作答)

33． [2014·新课标全国卷Ⅱ] (x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝___12

_____．

34．，[2014·山东卷] 若⎝

⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为____2 ____．