微分概念及其运算

设在点可导，即下面的极限存在：

       ＝＝

因此         ＝＋，其中（），

于是        ＝， 

（函数的增量=（的线性函数）+）

物理意义：如果把视为时间时所走过的路程，

        时间内所走过的路程

=以匀速运动所走过的路程

+因为加速度的作用而产生的附加路程

    定义4.2  设在有定义，如果对给定的，有

              ＝－＝＋，()

其中与无关，则称在点可微，并称为函数在点的微分，记为

        ＝或  ＝

在点可导在点可微

由前面的讨论得

微分具有两大重要特征：

1)微分是自变量的增量的线性函数；

2)微分与函数增量之差，是比高阶的无穷小量.

因此，称微分为增量的线性主要部分。

事实上当时

＝＝＝1

即与是等价无穷小量。

注1系数是依赖于的，它是的函数，

注2 微分dy既与有关，又与有关，而和是两个互相的变量，但它对的依赖是线性的．

例1  自由落体运动中， 

＝＝

即可表为的线性函数和的高阶无穷小量之和，由微分定义知，在t点可微，且微分

它等于以匀速＝运动，在时间内走过的路程．

例2  圆面积， 

           ＝一＝．

可表示为的线性函数与的高阶无穷小之和，故函数在可微，且微分

从几何上看，微分可以这样理解：

是圆周长，当半径变大即圆面积膨胀时，设想圆周长保持不变，半径增大所引起的圆面积变化就是。

这就是圆面积的微分，它与成正比，与圆面积真正的变化之差是较高阶的无穷小，当然圆不可能保持周长不变而膨胀，这只是一种设想而已，但当很小时，两者之差就更小了。

例3设正方形的边长为，则面积为 

       ＝＝＋

即可表为的线性函数和的高阶无穷小量之和，故在点可微，且微分

                      ＝．

可微与可导的关系：

    定理4.5  函数＝在点可微的充要条件是：函数在点可导．这时微分中的系数．

证明  充分性前面已证。

必要性．设在点可微，由定义知

因此               ＝

故在点可导，且＝

对一元函数而言，可微与可导是等价的，且有关系式

规定：自变量的微分等于自变量的改变量，

这样微分公式又可写成

于是有，在定义导数（微商）时，符号是作为一个整体，

而现在微商可以看作是微分之商．也就是说，微商的确是微分之商．

微分的几何意义： 

微分是曲线在处的切线对应的改变量．用微分近似地代替改变量，从几何上看就是用切线的改变量近似地代替函数的改变量（以直代曲）

由导数公式可得到基本初等函数的微分公式

                     ；

                     ；

等等．同样借助于微商的运算法则，立即可得下面的微分运算法则

(1)四则运算法则．

(2)复合函数的微分．

设，则复合函数的微分为

把与相比较，

虽然是自变量，是中间变量，但两者形式上是一样的，这一性质称为一阶微分形式的不变性。

一阶微分形式不变性说明，可以在微分等式中代入变量

例如，，则    

代入变量得        

这种“代入”运算，在微商公式中就不可以做．例如在中代入变量，得，显然结果是错误的．

例   设，利用微分运算法则求函数的微分。

解       

利用微分近似计算

       用微分近似增量，即。考虑点

，          （）

，   （）

                                                 ， 

，        （）

，  （）

，              （）

，     （）

例  求的近似值.

解 令＝，＝，＝＝，由得

                  ×＝0.5151