2018年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版)

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设z=+2i，则|z|=

A．0        B．        C．1        D．

解析：选C  z=+2i=-i+2i=i

2．已知集合A={x|x2-x-2>0}，则∁RA =

A．{x|-12}      D．{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 

解析：选B  A={x|x<-1或x>2}

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例              建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

解析：选A

4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=

A．-12                       B．-10                      C．10                        D．12

解析：选  ∵3(3a1+3d)=(2a1+d )+(4a1+6d)  a1=2  ∴d=-3  a5=-10

5．设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为

A．y=-2x                B．y=-x                C．y=2x                D．y=x

解析：选D  ∵f(x)为奇函数  ∴a=1   ∴f(x)=x3+x   f′(x)=3x2+1   f′(0)=1 故选D

6．在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=

A． -             B．  -             C． +             D．  + 

解析：选A  结合图形，=- (+)=- -=- -(-)= - 

7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为

A．2                    B．2                    C．3                    D．2

解析：选B  所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长

8．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=

A．5                       B．6                    C．7                     D．8

解析：选D  F(1,0)，MN方程为y= (x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则=(0,2),=(3,4)

∴·=8

9．已知函数f(x)= ，g(x)=f(x)+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A．[–1，0）               B．[0，+∞）                C．[–1，+∞）            D．[1，+∞）

解析：选C g(x)=0即f(x)=-x-a，即y=f(x)图象与直线y=-x-a有2个交点，结合y=f(x)图象可知-a<1

10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为II．在整个图形中随机取一点，此点取自，， II的概率分别记为p1，p2，p3，则

A．p1=p2                                            B．p1=p3

C．p2=p3                                            D．p1=p2+p3

解析：选A  ∵AC=3，AB=4，∴BC=5，∴AC=，AB=2 , BC=

∴以AC和AB为直径的两个半圆面积之和为×π×()2+×π×22=π

∴以BC为直径的半圆面积与三角形ABC的面积之差为×π×()2- ×3×4=π-6；

∴两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于π-(π-6)=6=ΔABC面积

∴p1=p2

11．已知双曲线C： - y2 =1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若ΔOMN为直角三角形，则|MN|=

A．                    B．3                C．2                D．4

解析：选B  依题F(2,0),曲线C的渐近线为y=±x,MN的斜率为，方程为y=(x-2),联立方程组解得M(,- ),N(3, ),∴|MN|=3

12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为

A．                    B．                C．             D．

解析：选A   如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱的中点时，面积最大

此时正六边形的边长为，其面积为6××()2=

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x，y满足约束条件，则z=3z+2y的最大值为_____________．

解析：答案为6

14．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2an+1，则S6=_____________．

解析：a1=-1，n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-1，an=-2n-1，S6=2a6+1=-+1=-63

15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

解析：合条件的选法有C63-C43=16

16．已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是_____________．

解析：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的最小值。

∵ f′（x）=2cosx+2cos2x  =2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)，

令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=-1， 可得此时x=，π或；

∴y=2sinx+sin2x的最大值和最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，

计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=-，f（0）=0，  ∴函数的最小值为-

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17．（12分）

在平面四边形ABCD中，∠ADC=900，∠A=450，AB=2，BD=5.

（1）求cos∠ADB；    （2）若DC=2，求BC.

解：（1）在ΔABD中，由正弦定理得=.由题设知，sin∠ADB=.

由题设知，∠ADB <900，所以cos∠ADB =.

（2）由题设及（1）知，cos∠BDC= sin∠ADB=.

在ΔBCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25   所以BC=5.

18．（12分）

如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把ΔDFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.

又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.

（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.

以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.

由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.  可得PH=,EH=.

则H(0,0,0),P(0,0, ),D(-1,- ,0 ), =(1, ,),

=(0,0, )为平面ABFD的法向量.

设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ=||=.

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.

19．（12分）

设椭圆C:  + y2 =1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.

由已知可得，点A的坐标为(1, )或(1,- ).

所以AM的方程为y= - x+或y= x-.

（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB =00.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则x1<,x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA+kMB=+.

由y1=kx1-k, y2=kx2-k得kMA+kMB=

将y=k(x-1)代入 + y2 =1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0  所以，x1+x2=, x1x2=.

则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k ==0

从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.

综上，∠OMA=∠OMB.

20．（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0．

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．学.科网

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)18.

因此f′(p)= C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2 C202p(1-p)17(1-10p)

令f′(p)=0，得p=0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.

所以f(p)的最大值点为p0=0.1.

（2）由（1）知，p=0.1.

（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X=40+25Y，

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.

（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于EX>400，故应该对余下的产品作检验.

21．（12分）

已知函数f(x)=  - x+alnx．

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：解:（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)= - -1+=- .

（i）若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时f′(x)=0，所以f(x)在(0,+∞)单调递减.

（ii）若a>2，令f′(x)=0得，x=或x=.

当x∈(0, )∪(,+∞)时，f′(x)<0；

当x∈(,)时，f′(x)>0.

所以f(x)在(0, )、(,+∞)单调递减，在(,)单调递增.

（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.

由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨设x11.

由于= -  -1+a= -2+ a=-2+ a，

所以设函数g(x)=  - x+2lnx，由（1）知，g(x)在(0,+∞)单调递减，

又g(1)=0，从而当x∈(1,+∞)时，g(x)<0.

所以–x2+2lnx2<0，即（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xoy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.

解：（1）C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4．

（2）由（1）知C2是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．

由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点． 

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以=2，故k= - 或k=0．

经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k= - 时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以=2，故k=0或k=- ．

经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k= 时，l2与C2没有公共点．

综上，所求C1的方程为y= - |x|+2．

23．[选修4–5：不等式选讲]（10分）

已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

（1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；

（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.

解:（1）当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即f(x)=   故不等式f(x)>1的解集为(,+∞)．

（2）当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立．

若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1；

若a>0，|ax-1|<1的解集为(0, )，所以≥1，故(0,2]．

综上，a的取值范围为(0,2]．