非参数统计十道题

非参数统计----十道题

09统计学

王若曦

32009121114

一、Wilcoxon 符号秩检验

下面是10个欧洲城镇每人每年平均消费的酒类相当于纯酒精数，数据已经按升序排列：

4.12  5.81  7.63  9.74  10.39  11.92  12.32  12.  13.54  14.45

人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中位数相当于纯酒精8升，试用上述数据检验这种看法。

数据来源：《非参数统计（第二版）》 吴喜之

手算：

建立假设组：

编号	纯酒精数x	D=x-8	|D|	|D|的秩	D的符号
1	4.12	-3.88	3.88	5	-
2	5.81	-2.19	2.19	3	-
3	7.63	-0.37	0.37	1	-
4	9.74	1.74	1.74	2	+
5	10.39	2.39	2.39	4	+
6	11.92	3.92	3.92	6	+
7	12.32	4.32	4.32	7	+
8	12.	4.	4.	8	+
9	13.54	5.54	5.54	9	+
10	14.45	6.45	6.45	10	+

查表得P=0.032<=0.05，因此拒绝原假设，即认为欧洲各国人均年消费酒量的中位数多于8升。

SPSS：

操作：Analyze——Nonparametric Tests——2-Related Sample Test

Ranks
		N	Mean Rank	Sum of Ranks
c - x	Negative Ranks	7a	6.57	46.00
	Positive Ranks	3b	3.00	9.00
	Ties	0c
	Total	10
a. c < x
b. c > x
c. c = x

Test Statisticsb
	c - x
Z	-1.886a
Asymp. Sig. (2-tailed)	.059
Exact Sig. (2-tailed)	.0
Exact Sig. (1-tailed)	.032
Point Probability	.008
a. Based on positive ranks.
b. Wilcoxon Signed Ranks Test

由输出结果可知，单侧精确显著性概率P=0.032< =0.05，因此拒绝原假设，即认为欧洲各国人均年消费酒量的中位数多于8升。与手算结果相同。

R语言：

> x=c(4.12,5.81,7.63,9.74,10.39,11.92,12.32,12.,13.54,14.45)

> wilcox.test(x-8,alt="greater")

        Wilcoxon signed rank test

data:  x - 8 

V = 46, p-value = 0.03223

alternative hypothesis: true location is greater than 0

由输出结果可知，P=0.03223< =0.05，因此拒绝原假设，即认为欧洲各国人均年消费酒量的中位数多于8升。与以上结果一致。

二、Mann-Whitney-Wilcoxon检验

下表为8个亚洲国家和8个欧美国家2005年的人均国民收入数据。检验亚洲国家和欧美国家的人均国民收入是否有显著差异（=0.05）。

亚洲国家	人均国民收入（美元）	欧美国家	人均国民收入（美元）
中国	1740	美国	43740
日本	380	加拿大	32600
印度尼西亚	1280	德国	34580
马来西亚	4960	英国	37600
泰国	2750	法国	34810
新加坡	27490	意大利	30010
韩国	15830	墨西哥	7310
印度	720	巴西	3460

数据来源：《统计学（第三版）》 贾俊平

手算：

设亚洲国家为X，欧美国家为Y

建立假设组：

数值	秩	组别	数值	秩	组别
720	1	X	27490	9	X
1280	2	X	30010	10	Y
1740	3	X	32600	11	Y
2750	4	X	34580	12	Y
3460	5	Y	34810	13	Y
4960	6	X	37600	14	Y
7310	7	Y	380	15	X
15830	8	X	43740	16	Y

查表得，Tx=48的右尾概率的2倍为0.019*2=0.038< =0.05，因此拒绝原假设，即认为亚洲国家和欧美国家的人均国民收入有显著差异。

SPSS：

操作：Data——Sort Cases

      Analyze——Nonparametric Tests——2-Independent Samples

Ranks
	分组	N	Mean Rank	Sum of Ranks
收入	亚洲国家	8	6.00	48.00
	欧美国家	8	11.00	88.00
	Total	16

Test Statisticsb
	收入
Mann-Whitney U	12.000
Wilcoxon W	48.000
Z	-2.100
Asymp. Sig. (2-tailed)	.036
Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)]	.038a
Exact Sig. (2-tailed)	.038
Exact Sig. (1-tailed)	.019
Point Probability	.005
a. Not corrected for ties.
b. Grouping Variable: 分组

由输出结果可知，精确双尾概率P=0.038<=0.05，因此拒绝原假设，即认为亚洲国家和欧美国家的人均国民收入有显著差异。与手算结果一致。

R语言：

> x<-c(1740,380,1280,4960,2750,27490,15830,720)

> y<-c(43740,32600,34580,37600,34810,30010,7310,3460)

> wilcox.test(x,y,exact=F,cor=F)

        Wilcoxon rank sum test

data:  x and y 

W = 12, p-value = 0.03569

alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0 

由输出结果可知，P=0.03569< =0.05，因此拒绝原假设，即认为亚洲国家和欧美国家的人均国民收入有显著差异。与以上结果一致。

三、两样本的Kolmogorov-Smirnov检验

下面是13个非洲地区和13个欧洲地区的人均酒精年消费量，试分析这两个地区的酒精人均年消费量是否分布相同。

非洲	欧洲
5.38	6.67
4.38	16.21
9.33	11.93
3.66	9.85
3.72	10.43
1.66	13.54
0.23	2.4
0.08	12.
2.36	9.3
1.71	11.92
2.01	5.74
0.9	14.45
1.54	1.99

数据来源：《非参数统计（第二版）》 吴喜之

手算：

建立假设组：

0.08	1	0	1	0	0.076923	0	0.076923
0.23	1	0	2	0	0.153846	0	0.153846
0.9	1	0	3	0	0.230769	0	0.230769
1.54	1	0	4	0	0.307692	0	0.307692
1.66	1	0	5	0	0.384615	0	0.384615
1.71	1	0	6	0	0.461538	0	0.461538
1.99	0	1	6	1	0.461538	0.076923	0.384615
2.01	1	0	7	1	0.538462	0.076923	0.461538
2.36	1	0	8	1	0.615385	0.076923	0.538462
2.4	0	1	8	2	0.615385	0.153846	0.461538
3.66	1	0	9	2	0.692308	0.153846	0.538462
3.72	1	0	10	2	0.769231	0.153846	0.615385
4.38	1	0	11	2	0.846154	0.153846	0.692308
5.38	1	0	12	2	0.923077	0.153846	0.769231
5.74	0	1	12	3	0.923077	0.230769	0.692308
6.67	0	1	12	4	0.923077	0.307692	0.615385
9.3	0	1	12	5	0.923077	0.384615	0.538462
9.33	1	0	13	5	1	0.384615	0.615385
9.85	0	1	13	6	1	0.461538	0.538462

10.43	0	1	13	7	1	0.538462	0.461538
11.92	0	1	13	8	1	0.615385	0.384615
11.93	0	1	13	9	1	0.692308	0.307692
12.	0	1	13	10	1	0.769231	0.230769
13.54	0	1	13	11	1	0.846154	0.153846
14.45	0	1	13	12	1	0.923077	0.076923
16.21	0	1	13	13	1	1	0

查表得，当mnD=130时，双侧检验的概率P<0.01，所以P<=0.05，因此拒绝原假设，即认为这两个地区的酒精人均年消费量分布有显著差异。

SPSS：

操作：Analyze——Nonparametric Tests——2-Independent Samples

Frequencies
	分组	N
消费量	非洲地区	13
	欧洲地区	13
	Total	26

Test Statisticsa
		消费量
Most Extreme Differences	Absolute	.769
	Positive	.769
	Negative	.000
Kolmogorov-Smirnov Z		1.961
Asymp. Sig. (2-tailed)		.001
Exact Sig. (2-tailed)		.000
Point Probability		.000
a. Grouping Variable: 分组

由输出结果可知，双侧精确显著性概率P =0.05，因此拒绝原假设，即认为这两个地区的酒精人均年消费量分布有显著差异。与手算结果一致。

四、Cochran Q检验

下面是某村村民对四个候选人（A，B，C，D）的赞同与否的调查（“1”代表同意，“0”代表不同意）；最后一列为行总和，最后一行为列总和，全部“1”的总和为42。试分析4位候选人在村民眼中有没有区别（=0.05）。

	20个村民对A、B、C、D四个候选人的评价																				N
A	0	1	1	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	16
B	1	1	0	0	0	1	1	1	1	1	0	1	1	0	1	1	0	0	0	0	11
C	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	0	0	0	1	1	0	1	0	1	0	9
D	0	0	0	0	1	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	6
L	1	3	2	1	2	3	2	2	3	3	1	2	2	3	3	3	2	1	2	1	42

数据来源：《非参数统计（第二版）》 吴喜之

手算：

建立假设组：

查表得，因此在5%的显著性水平上拒绝原假设，即认为4位候选人在村民眼中有显著差异。

SPSS：

操作：Analyze——Nonparametric Tests——K Related Samples

Frequencies
	Value
	0	1
A	4	16
B	9	11
C	11	9
D	14	6

Test Statistics
N	20
Cochran's Q	9.353a
df	3
Asymp. Sig.	.025
Exact Sig.	.025
Point Probability	.006
a. 0 is treated as a success.

由输出结果可知，Q=9.353，精确的显著性概率P=0.025< =0.05，因此拒绝原假设，即认为4位候选人在村民眼中有显著差异。与手算结果一致。

R语言：

> x=read.table("f:/CochranQ.txt")

> n=apply(x,2,sum)

> N=sum(n)

> L=apply(x,1,sum)

> k=dim(x)[2]

> Q=(k*(k-1)*sum((n-mean(n))^2))/(k*N-sum(L^2))

> Q

[1] 9.352941

> pvalue=pchisq(Q,k-1,low=F)

> pvalue

[1] 0.02494840

由输出结果可知，Q=9.352941， P=0.02494840< =0.05，因此拒绝原假设，即认为4位候选人在村民眼中有显著差异。与以上结果一致。

五、Friedman检验

一项关于销售茶叶的研究报告说明销售方式可能和售出率有关。三种方式为：在商店内等待，在门口销售和当面表演炒制茶叶。对一组商店在一段时间的调查结果列再下表中（单位为购买者人数）。试问三种不同的销售方式是否有显著差异（=0.05）。

销售方式	购买率（%）
商店内等待	20	25	29	18	17	22	18	20
门口销售	26	23	15	30	26	32	28	27
表演炒制	53	47	48	43	52	57	49	56

数据来源：《非参数统计（第二版）》 吴喜之

手算：

建立假设组：

三种方式购买率等级

销售方式	购买率								合计
商店内等待	1	2	2	1	1	1	1	1	10
门口销售	2	1	1	2	2	2	2	2	14
表演炒制	3	3	3	3	3	3	3	3	24

查表得，因此在5%的显著性水平上拒绝原假设，即认为三种销售方式有显著差异。

SPSS：

操作：Analyze——Nonparametric Tests——K Related Samples

Ranks
	Mean Rank
商店内等待	1.25
门口销售	1.75
表演炒制	3.00

Test Statisticsa
N	8
Chi-Square	13.000
df	2
Asymp. Sig.	.002
Exact Sig.	.000
Point Probability	.000
a. Friedman Test

由输出结果可知，，精确的显著性概率P<0.001，因此在5%的显著性水平上拒绝原假设，即认为三种销售方式有显著差异。与手算结果一致。

R语言：

> d=read.table("f:/Friedman.txt")

> friedman.test(as.matrix(d))

        Friedman rank sum test

data:  as.matrix(d) 

Friedman chi-squared = 13, df = 2, p-value = 0.001503

由输出结果可知，， P=0.001503<=0.05，因此拒绝原假设，即认为三种销售方式有显著差异。与以上结果一致。

六、K个样本的卡方检验

在一个有三个主要百货商场的商贸中心，调查者问479个不同年龄段的人首先去三个商场中的哪个，结果如下表，检验人们去这三个商场的概率是否一样。

年龄段	商场1	商场2	商场3	总和
<30	83	70	45	198
30—50	91	86	15	192
>50	41	38	10
总和	215	194	70	479

数据来源：《非参数统计》 王星

手算：

建立假设组：

分组
<30	83	70	45	198	88.873	80.192	28.935	0.388	1.295	8.919
30—50	91	86	15	192	86.180	77.762	28.058	0.270	0.873	6.077
>50	41	38	10		39.948	36.046	13.006	0.028	0.106	0.695
合计	215	194	70	479	215.000	194.000	70.000	0.685	2.274	15.691

查表得，因为Q=18.651>，因此拒绝原假设，即认为人们去三个商场的概率不同。

SPSS：

操作：Data——Weight Cases

      Analyze——Descriptive Statistics——Crosstabs

Chi-Square Tests
	Value	df	Asymp. Sig. (2-sided)	Exact Sig. (2-sided)	Exact Sig. (1-sided)	Point Probability
Pearson Chi-Square	18.651a	4	.001	.b
Likelihood Ratio	18.691	4	.001	.001
Fisher's Exact Test	18.314			.001
Linear-by-Linear Association	5.110c	1	.024	.026	.013	.003
N of Valid Cases	479
a. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 13.01.
b. Cannot be computed because there is insufficient memory.
c. The standardized statistic is -2.260.

由输出结果可知，卡方统计量为18.651，精确双尾检验概率P=0.01<=0.05，因此拒绝原假设，即认为人们去三个商场的概率不同。与手算结果一致。

七、Kruskal-Wallis检验

某制造商雇用了来自三个本地大学的雇员作为管理人员。最近，公司的人事部门已经收集信息并考核了年度工作成绩。从三个大学来的雇员中随机地抽取了三个样本。制造商想知道是否来自这三个不同的大学的雇员在管理岗位上的表现有所不同。

雇员	大学A	大学B	大学C
1	25	60	50
2	70	20	70
3	60	30	60
4	85	15	80
5	95	40	90
6	90	35	70
7	80		75

数据来源： SAS讲义

手算：

建立假设组：

各雇员的成绩等级

雇员	大学A	大学B	大学C
1	3	9	7
2	12	2	12
3	9	4	9
4	17	1	15.5
5	20	6	18.5
6	18.5	5	12
7	15.5		14
秩和	95	27	88

因为出现同分的情况，应对H进行校正，校正系数

查表得，在的显著性水平上，=5.99，由于H=8.9839>=5.99，因此拒绝原假设，即三个总体的考核成绩分布不同。

SPSS：

操作：Analyze——Nonparametric Tests——K Independent Samples

Ranks
	分组	N	Mean Rank
成绩	大学A	7	13.57
	大学B	6	4.50
	大学C	7	12.57
	Total	20

Test Statisticsa,b
	成绩
Chi-Square	8.984
df	2
Asymp. Sig.	.011
Exact Sig.	.006
Point Probability	.000
a. Kruskal Wallis Test
b. Grouping Variable: 分组

由输出结果可知，KW统计量为8.984，精确概率为0.006，远远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即三个总体的考核成绩分布不同。与手算结果一致。

八、列联表卡方检验

一种原料来自三个不同的地区，原料质量被分成三个不同等级。从这批原料中随机抽取500件进行检验，得样本数据如下表所示，要求检验地区与原料质量之间有无依赖关系。

	一级	二级	三级	合计
地区1	52		24	140
地区2	60	59	52	171
地区3	50	65	74	1
合计	162	188	150	500

数据来源： 统计学教程PPT

手算：

建立假设组：

地区	等级
1	1	52	45.36	0.97
1	2		52.	2.45
1	3	24	42	7.71
2	1	60	55.4	0.38
2	2	59	.3	0.44
2	3	52	51.3	0.01
3	1	50	61.24	2.06
3	2	65	71.06	0.52
3	3	74	56.7	5.28
合计				19.82

查表得，，由于Q=19.82>，因此拒绝原假设，即认为地区与原料质量相关。

SPSS：

操作：Data——Weight Cases

      Analyze——Descriptive Statistics——Crosstabs

地区 * 等级 Crosstabulation
			等级			Total
			一级	二级	三级
地区	地区1	Count	52		24	140
		Expected Count	45.4	52.6	42.0	140.0
	地区2	Count	60	59	52	171
		Expected Count	55.4	.3	51.3	171.0
	地区3	Count	50	65	74	1
		Expected Count	61.2	71.1	56.7	1.0
Total		Count	162	188	150	500
		Expected Count	162.0	188.0	150.0	500.0

Chi-Square Tests
	Value	df	Asymp. Sig. (2-sided)	Exact Sig. (2-sided)	Exact Sig. (1-sided)	Point Probability
Pearson Chi-Square	19.822a	4	.001	.b
Likelihood Ratio	20.732	4	.000	.000
Fisher's Exact Test	20.510			.000
Linear-by-Linear Association	13.963c	1	.000	.000	.000	.000
N of Valid Cases	500
a. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 42.00.
b. Cannot be computed because there is insufficient memory.
c. The standardized statistic is 3.737.

由输出结果可知，检验统计量为19.822，精确双尾显著性概率P远远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即认为地区与原料质量相关。与手算结果一致。

九、Kendall秩相关

某研究所对10对双胞胎儿童的智力进行调查，结果如下表：

儿童智力测试得分

双胞胎编号	先出生儿童（X）	后出生儿童（Y)
1	9	7.8
2	16.6	19.3
3	16.2	20.1
4	11.3	7.1
5	16.2	13
6	7.1	4.8
7	7.8	8.9
8	4	7.4
9	11.2	10
10	1.3	1.5

数据来源：《非参数统计：方法与应用》 易丹辉 董寒青

手算：

儿童智力测试得分评秩

X	Y	X的秩	Y的秩	D
1.3	1.5	1	1	0	0
4	7.4	2	4	-2	4
7.1	4.8	3	2	1	1
7.8	8.9	5	6	-1	1
9	7.8	5	5	0	0
11.2	10	6	7	-1	1
11.3	7.1	7	3	4	16
16.2	20.1	8.5	10	-1.5	2.25
16.2	13	8.5	8	0.5	0.25
16.6	19.3	10	9	1	1

对T的显著性进行检验，建立假设组：

查表得，n=10，T=0.6667或T=0.6742相应的概率在0.0002至0.0005之间，远远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即认为双胞胎儿童的智力之间存在着正相关。

SPSS：

操作：Analyze——Correlate——Bivariate

Correlations
			先出生儿童	后出生儿童
Kendall's tau_b	先出生儿童	Correlation Coefficient	1.000	.674**
		Sig. (2-tailed)	.	.007
		N	10	10
	后出生儿童	Correlation Coefficient	.674**	1.000
		Sig. (2-tailed)	.007	.
		N	10	10
**. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).

由输出结果可知，T=0.674，双侧检验的显著性概率为0.007，则单侧的显著性概率为0.0035，远远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即认为双胞胎儿童的智力之间存在着正相关。与手算结果一致。

R语言：

> x=c(9.0,16.6,16.2,11.3,16.2,7.1,7.8,4.0,11.2,1.3)

> y=c(7.8,19.3,20.1,7.1,13.0,4.8,8.9,7.4,10.0,1.5)

> cor.test(x,y,method="kendall")

        Kendall's rank correlation tau

data:  x and y 

z = 2.6941, p-value = 0.007058

alternative hypothesis: true tau is not equal to 0 

sample estimates:

      tau 

0.6741999 

警告信息：

In cor.test.default(x, y, method = "kendall") : 无法给连结计算精確p值

由输出结果可知，T=0.6741999，P=0.007058，远远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即认为双胞胎儿童的智力之间存在着正相关。与以上结果一致。

十、完全秩评定的Kendall协和系数

下面是4个的环境研究单位对10个城市空气等级排序的结果，试分析这4个评估机构的结果是否是随机的。

评估机构(m=4)	被评估的10个城市（A-J）的排名
	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
A B C D	9 10 8 9	2 1 4 1	4 3 2 2	10 8 10 10	7 7 9 6	6 5 7 7	8 9 5 4	5 6 6 8	3 4 3 5	1 2 1 3
R	36	8	11	38	29	25	26	25	15	7

数据来源：《非参数统计（第二版）》 吴喜之

手算：

对W进行显著性检验，建立假设组：

查表得，因此拒绝原假设，即认为这些评估之间是显著相关的。

SPSS：

操作：Analyze——Nonparametric Tests——K Related Samples

Ranks
	Mean Rank
A	9.00
B	2.00
C	2.75
D	9.50
E	7.25
F	6.25
G	6.50
H	6.25
I	3.75
J	1.75

Test Statisticsb
N	4
Kendall's Wa	.853
Chi-Square	30.709
df	9
Asymp. Sig.	.000
a. Kendall's Coefficient of Concordance
b. Some or all exact significances cannot be computed because there is insufficient memory.

由输出结果可知，W=0.853，Q=30.709，P远远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即认为这些评估之间是显著相关的。与手算结果一致。

R语言：

> d=read.table("f:/airp.txt") 

> R=apply(d,2,sum)

> m=nrow(d)

> n=ncol(d)

> S=sum((R-m*(n+1)/2)^2)

> W=12*S/m^2/(n^3-n)

> W

[1] 0.8530303

> pchisq(m*(n-1)*W,n-1,low=F)

[1] 0.0003320349

由输出结果可知，W=0.8530303，P= 0.0003320349，远远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即认为这些评估之间是显著相关的。与以上结果一致。