高三数学平面向量专题复习

一、选择题：

1.若，则的数量积为    （    ）

    A．10    B．－10    C．10    D．10

2.若点P分所成的比为，则A分所成的比是（    ）

A.                B.                C.-                D.- 

3．若将向量围绕原点按逆时针方向旋转得到向量，则向量的坐标为（    ）

A．    B．     C．    D． 

4．在矩形ABCD中，当时，

   的值为  (    )           A．    B．    C．2        D．3

5．已知A（5，7），B（2，3），将=（4，1）平移后的坐标为    （    ）

    A．（－3，－4）    B．（－4，－3）    C．（1，－3）    D．（－3，1）

6．将函数图象上的点P（1，0）平移至P′（2，0），则经过这种平移后得到的新

   函数的解析式为                （    ）

    A．    B．    C．    D． 

7.设点P分有向线段的比是λ，且点P在有向线段的延长线上，则λ的取值范围是（    ）             A.(-∞,-1)        B.(-1,0)        C.(-∞,0)        D.(-∞,-)

8．已知，则△ABC一定是        （    ）

    A．锐角三角形    B．直角三角形    C．钝角三角形    D．等腰直角三角形

9．若非零向量互相垂直，则下列各式中一定成立的是        （    ）

    A．        B． 

    C．    D． 

10.设四边形ABCD中，有=，且||=||，则这个四边形是（    ）

A.平行四边形            B.矩形                C.等腰梯形            D.菱形

11.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是

A.(2a,b)                B.(a-b,a+b)            C.(a+b,b-a)            D.(a-b,b-a)

12．将椭圆按向量平移，使中心与原点重合，则的坐标为 （    ）   A．（2，1）   B．（－1，－2）   C．（－1，2）   D．（1，－2）

二、填空题：

13.在菱形ABCD中，（ +）·（-）=                。

14．已知为单位向量， =4，的夹角为，则方向上的投影为          .

15．已知的夹角为120°，且，当时，

    k=               .

16．已知点A（－2，－3），B（－1，－6），C（19，4），则△ABC的形状是         .

三、解答题：

17．已知△ABC的顶点坐标为A（1，2），B（2，3），C（3，1），把△ABC按向量平移后得到，若的重心为G′（3，4）

求△ABC的对应点A′、B′、C′以及的坐标.

18．平面内有向量，点M为直线OP上一个动点.

   （1）当取最小值，求的坐标；

   （2）当点M满足（1）的条件和结论时，求的值.

19.已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a与b之间有关系|ka+b|=|a－kb|， (k>0)

（1）用k表示a·b;

（2）求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小。

20.（1）已知a,b是两个非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a 与b的夹角；

（2）已知：|a|=,|b|=3,a和b的夹角为45°，求使向量a+λb与λa+b的夹角是锐角时λ的取值范围。

21.设、是两个不共线的非零向量（）

    （1）记那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？

（2）若，那么实数x为何值时的值最小？

22.设x , y ∈R，、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若=x+（y+2）， =x+（y－2），且2+2=16.

   （1）求点M（x, y ）的轨迹C 的方程；

   （2）过定点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由.

答  案

一、选择题：

1．A   2. C   3.B   4.A    5.A   6.A   7.  A  8.  B  9. B   10.  C 11. C    12.B

二、填空题：

13. 0       14．－2       15．         16．直角三角形    

三、解答题：

17．，  A′=（2，4） ， B′=（3，5） ， C′=（4，3）．

18．（1）设M（x,y），当y=2时，取最小值－8，此时．

   （2）．

19. 解  （1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用两边平方，得

|ka+b|2=(|a－kb|)2

k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)

∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2

a·b =

∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，

∴a2=1, b2=1,

∴a·b ==

（2）∵k2+1≥2k，即≥=

∴a·b的最小值为，

又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1

∴=1×1×cos。

∴=60°,此时a与b的夹角为60°。

20. 解  （1）∵a+3b与7a－5b垂直，∴（a+3b）·(7a－5b)=0,

即7|a|2+16a·b－15|b|2=0，  ①

又∵a－4b与7a－2b垂直，∴（a－4b）·(7a－2b)=0。

即7|a|2－30a·b+8|b|2=0。  ②

①－②得46a·b=23|b|2,得a·b=|b|2,

代入①可得|a|=|b|，设所求a与b的夹角为θ，则

cosθ===,∴θ=60°。

（2）由已知

a·b=|a|·|b|·cos45°=3·=3。

∵a+λb与λa+b夹角为锐角，

∴（a+λb）·(λa+b)>0，即a·bλ2+(a2+b2) λ+a·b>0。

把a·b=3，a2+b2=|a|2+|b|2=2+9=11代入得3λ2+11λ+3>0，

解之得λ<或λ>，此即所求λ的取值范围。

注  与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·b

21. 解：（1）A、B、C三点共线知存在实数

    即，…………………………………………………4分

    则………………………………………………………………6分

    （2）

    ……………………………9分

    当…………………………………………12分

22. 解：（1）由2+2=16得x2+y2=4…………………………4分

   （2）假设直线l存在，显然l的斜率存在

        设A（x1,y1） B(x2, y2)

        由………………6分

∴若OAPB为正方形  只有即x1x2+y1y2=0

y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9……………………8分

……10分

∴存在l且l的方程为y=x+3…………………………12分

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