人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题

一、选择题

1．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：

tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）

A．5.6 B．6.9 C．11.4 D．13.9

【答案】C

【解析】

【分析】

根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．

【详解】

解:如图,延长DC、AB交于点E，

，

由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得

BE：CE＝1：2．

设BE＝xm，CE＝2xm．

在Rt△BCE中，由勾股定理，得

BE2+CE2＝BC2，

即x2+（2x）2＝（12）2，

解得x＝12，

BE＝12m，CE＝24m，

DE＝DC+CE＝8+24＝32m，

由tan36°≈0.73，得

＝0.73，

解得AB＝0.73×32＝23.36m．

由线段的和差，得

AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m，

故选：C．

本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE ，BE 的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差．

2．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ）

A ．1000sin α米

B ．1000tan α米

C ．1000tan α米

D ．1000sin α

米 【答案】C

【解析】

【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB

α=

，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ∆中，∵90CAB ∠=，B α∠=，1000AC =米，

∴tan AC AB α=

， ∴1000tan tan AC AB αα

==米． 故选：C ．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

3．如图，在ABC ∆中，4AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ）

A 2

B 22

C 42

D 32 【答案】C

【分析】

在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD−DE 即可求出AE 的长度．

【详解】

∵AD ⊥BC

∴∠ADC=∠ADB=90︒

在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45︒

∴AD=CD=

在Rt △ADB 中，AD=ABD=60︒

∴． ∵BE 平分∠ABC ，

∴∠EBD=30．

在Rt △EBD 中，BD=3

，∠EBD=30

∴3

∴AE=AD −DE=3=3

故选：C

【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．

4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=

23，那么AB 的长是（ ）

A ．3

B ．43

C

D 【答案】A

【解析】

根据锐角三角函数的性质，可知cosA=

AC AB =23，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3. 故选A.

点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=A ∠的邻边

斜边，然后带入数值即可求解.

5．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2

sin cos θθ-=( )

A ．15

B ．55

C ．355

D ．95

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．

【详解】

解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，

∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，

∴55cos 55sin 5θθ-=，

∴5cos sin 5θθ-=

， ∴()21sin cos 5

θθ-=

． 故选：A ．

【点睛】 本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出5cos sin 5

θθ-=．

6．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM 的长为( )

B ．433

C ．8

D ．83

【答案】A

【解析】

【分析】

根据折叠性质可得BE=12

AB ，A′B=AB=4，∠BA ′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA ′，可得∠EA ′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA ′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt △ABM 中，利用∠ABM 的余弦求出BM 的长即可.

【详解】

∵对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，AB=4，

∴BE=12

AB=2，∠BEF=90°， ∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A’处，并使折痕经过点B ， ∴A ′B=AB=4，∠BA ′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA ′，

∴∠EA ′B=30°，

∴∠EBA ′=60°，

∴∠ABM=30°，

∴在Rt △ABM 中，AB=BM ⋅cos ∠ABM ，即4=BM ⋅cos30°，

解得：BM=

833

， 故选A.

【点睛】

本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.

7．如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =，则cos ADF ∠的值为（ ）

A ．1113

B ．1315

C ．1517

D ．1719

【答案】C

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由∠EOF=∠BOP 、∠B=∠E 、OP= OF 可得出△OEF ≌AOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出0E=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=4-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．

【详解】

解：∵矩形纸片ABCD ，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处， 根据折叠性质，可得：△DCP ≌△DEP ，

∴.DC=DE=4， CP= EP ，

在△OEF 和△OBP 中

90 EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠

=︒⎨⎪=⎩

∴△OEF ≌△OBP(AAS)

∴ОE=OB ， EF= ВР.

设EF=x,则BP=x ，DF= DE-EF=4-X ，

又∵ BF=OB+OF=OE+ OP=PE=PC, РС=ВC-BP=3-x,

∴AF=AB-BF=1+x.

在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2= DF 2，即(1+x) 2+32= (4-x)2

解得: x=35 ∴DF=4-x=175

∴cos ∠ADF=

1517AD DF = 故选: C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．

8．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）

A ．247

B ．73

C ．724

D ．13

【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意，BE=AE ．设BE=x ，则CE=8-x ．

在Rt △BCE 中，x 2=（8-x ）2+62，

解得x=254，故CE=8-254=74

， ∴tan ∠CBE=

724CE CB =. 故选C.

考点：锐角三角函数.

9．如图，AB 是O 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若3AE EB ==，15C ∠=，则OE 的长为( )

A ．3

B ．4

C ．6

D ．33

【答案】D

【解析】

【分析】 连接OA ．证明OAB ∆是等边三角形即可解决问题．

【详解】

如图，连接OA ．

∵AE EB =，

∴CD AB ⊥，

∴AD BD =，

∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=，

∴60AOB ∠=，

∵OA OB =，

∴AOB ∆是等边三角形，

∵3AE =， ∴tan 6033OE AE =⋅=，

故选D ．

【点睛】 本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，作CD 的中垂线与CD 交于点E ，与BC 交于点F ．若CF ＝x ，tanA ＝y ，则x 与y 之间满足（ ）

A ．2244x y

+= B ．2244x y -= C ．2288x y -= D ．2288x y

+= 【答案】A

【解析】

【分析】 由直角三角形斜边上的中线性质得出CD ＝

12AB ＝AD ＝4，由等腰三角形的性质得出∠A ＝∠ACD ，得出tan ∠ACD ＝GE CE

＝tan A ＝y ，证明△CEG ∽△FEC ，得出GE CE CE FE =，得出y ＝2FE ，求出y 2＝24FE ，得出24y

＝FE 2，再由勾股定理得出FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，即可得出答案．

【详解】

解：如图所示：

∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，

∴CD ＝

12

AB ＝AD ＝4， ∴∠A ＝∠ACD ，

∵EF 垂直平分CD ，

∴CE ＝12CD ＝2，∠CEF ＝∠CEG ＝90°， ∴tan ∠ACD ＝

GE CE ＝tanA ＝y ， ∵∠ACD+∠FCE ＝∠CFE+∠FCE ＝90°，

∴∠ACD ＝∠FCE ，

∴△CEG ∽△FEC ，

∴GE CE ＝CE FE

， ∴y ＝2FE

， ∴y 2＝

24FE ， ∴24y

＝FE 2， ∵FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，

∴24y

＝x 2﹣4， ∴24y

+4＝x 2， 故选：A ．

【点睛】

本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．

11．把Rt ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（ ）

A ．扩大为原来的3倍

B ．缩小为原来的

13

C ．扩大为原来的9倍

D ．不变 【答案】D

【解析】

【分析】

根据相似三角形的性质解答．

三边的长度都扩大为原来的3倍，

则所得的三角形与原三角形相似，

∴锐角A的大小不变，

∴锐角A的余弦值不变，

故选：D．

【点睛】

此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．

12．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）

A．3B．23C．3

2

D．

23

3

【答案】A

【解析】

连接OC，

∵OA=OC，∠A=30°，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC是⊙O切线，

∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，

∴OC=PC•tan30°3

故选A

13．如图，△ABC的外接圆是⊙O，半径AO=5，sinB=2

5

，则线段AC的长为（）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．5

【答案】C

【解析】

【分析】 首先连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O 的半径是5，sinB=25

，即可求得答案． 【详解】

解：连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，

由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，

∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧AC ，

∴∠B=∠D ，即sinB=sinD=

25， ∵半径AO=5，

∴CD=10，

∴2sin 105

AC AC D CD =

==， ∴AC=4，

故选：C.

【点睛】

本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.

14．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3tan 4B =

，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则AE AD

的值（ ）

A ．35

B ．34

C ．45

D ．67

【答案】D

【解析】

【分析】

根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝37

AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝

12AB ，进而可求得AE AD

的值． 【详解】 解：∵CE 平分ACB ∠，

∴点E 到ACB ∠的两边距离相等，

设点E 到ACB ∠的两边距离位h ，

则S △ACE ＝12AC·h ，S △BCE ＝12

BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝

12AC·h ：12

BC·h ＝AC ：BC ， 又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ，

∴AE ：BE ＝AC ：BC ， ∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3tan 4B =

， ∴AC ：BC ＝3:4，

∴AE ：BE ＝3:4

∴AE ＝37

AB ， ∵CD 为AB 边上的中线， ∴AD ＝

12AB ， ∴36717

2

AB AE AD AB ==， 故选：D ．

【点睛】

本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE ：BE ＝AC ：BC

是解决本题的关键．

15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点B的坐标是（0，4），点D的坐标是（83，4），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发，沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从点B出发，沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设M，N两点的运动时间为x，△BMN的面积为y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据两个点的运动变化，写出点N在BC上运动时△BMN的面积，再写出当点N在CD上运动时△BMN的面积，即可得出本题的答案；

【详解】

解：当0连接BD，AC，交于点O′，连接NM，过点C作CP⊥AB垂足为点P，

∴∠CPB=90°，

∵四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是(0，4)，点D的坐标是3，4)，

∴BO′3，CO′=4，

∴228

'，

O B O C

+'=

∵AC=8，

∴△ABC 是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∴CP=BC×sin60°=8×32=43，BP=4， BN=4x ，BM=2x ， 242BM x x BP ==，2

BN x BC =， ∴=BM BN BP BC

， 又∵∠NBM=∠CBP ， ∴△NBM ∽△CBP ，

∴∠NMB=∠CPB=90°， ∴114438322

CBP S BP CP =⨯⨯=⨯⨯=； ∴2NBM

CBP S BN S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭

， 即y=22283=232NBM

CBP BN x S S x BC ⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当2∵四边形ABCD 是菱形，

∴AB ∥CD ，

∴3

BM=2x ，

∴y=

11=2434322

BM NE x x ⨯⨯=； 故选D.

【点睛】 本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握动点问题的函数图象是解题的关键.

16．如图，Rt △AOB 中，∠AOB=90°，AO=3BO ，OB 在x 轴上，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋

x

的图象上，OA'交反比例函数y=

k

x

的图象

于点C，且OC=2CA'，则k的值为（）

A．4 B．7

2

C．8 D．7

【答案】C

【解析】

【详解】

解：设将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至Rt△A'OB'的旋转角为α，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C的坐标为（2asinα，2acosα），

∵点B'在反比例函数y=﹣2

x

的图象上，

∴﹣asinα=﹣

2

acosα

，得a2sinαcosα=2，

又∵点C在反比例函数y=k

x

的图象上，

∴2acosα=

k

2asinα

，得k=4a2sinαcosα=8.

故选C.

【点睛】

本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.

17．如图，在平面直角坐标系中，AOB

∆的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，2

AO AB

==，120

OAB

∠=，将AOB

∠绕点O逆时针旋转90，点B的对应点'B的坐标是（）

A ．3(2,3)2--

B ．33(2,2)22---

C ．3(3,2)2--

D ．(3,3)-

【答案】D 【解析】

【分析】

过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，通过条件求出'B M ，MO 的长即可得到'B 的坐标.

【详解】

解：过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，

∵2AO AB ==，120OAB ∠=︒，

∴'''2A O A B ==，''120OA B ∠=︒，

∴'0'6M B A ∠=︒，

在直角△''A B M 中，3==2=B'M B'M 'sin B A M B '''A ∠ ， 1==2

2=A'M A'M 'cos B A M B '''A ∠， ∴'3B M ='1A M =，

∴OM=2+1=3，

∴'B 的坐标为(3)-.

故选：D.

【点睛】

本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

18．如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 的中点，且BE ⊥AC 于点F ，则下列结论中错误的是（ ）

2 CF

B．∠DCF＝∠DFC

C．图中与△AEF相似的三角形共有5个

D．tan∠CAD＝

3 2

【答案】D 【解析】【分析】

由AE=1

2

AD=

1

2

BC，又AD∥BC，所以

1

2

AE AF

BC FC

==，故A正确，不符合题意；

过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1

2

BC，得到

CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；

根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；

由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．

【详解】

解：A、∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴AE

BC

＝

AF

FC

，

∵AE＝1

2

AD＝

1

2

BC，

∴AF

FC

＝

1

2

，故A正确，不符合题意；

B、过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM＝DE＝1

2 BC，

∴BM＝CM，

∴CN＝NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN ⊥CF ，

∴DF ＝DC ，

∴∠DCF ＝∠DFC ，故B 正确，不符合题意；

C 、图中与△AEF 相似的三角形有△AC

D ，△BAF ，△CBF ，△CAB ，△AB

E 共有5个，故C 正确，不符合题意．

D 、设AD ＝a ，AB ＝b 由△BA

E ∽△ADC ，有b a ＝2a ． ∵tan ∠CAD ＝

CD AD ＝b a ＝22

，故D 错误，符合题意． 故选：D ．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．

19．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )

A ．cot cot m αβ-千米

B ．cot cot m βα-千米

C ．tan tan m αβ

-千米 D ．tan tan m βα-千米

【答案】A

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数的概念进行作答.

【详解】

在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β=

cot cot m αβ

-. 所以答案选A. 【点睛】

本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.

20．如图，在矩形ABCD 中E 是CD 的中点，EA 平分,BED PE AE ∠⊥交BC 于点P ，连接PA ，以下四个结论：①EB 平分AEC ∠；②PA BE ⊥；③32

AD AB =；④2PB PC =．其中结论正确的个数是（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

【答案】A

【解析】

【分析】 根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE ≌△BCE （SAS ），进而求出△ABE 是等边三角形，再求出△AEP ≌△ABP （SSS ），进而得出∠EAP ＝∠PAB ＝30°，再分别得出AD 与AB ，PB 与PC 的数量关系即可．

【详解】

解：∵在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，

∴DE ＝CE ，

又∵AD ＝BC ，∠D ＝∠C ，

∴△ADE ≌△BCE （SAS ），

∴AE ＝BE ，∠DEA ＝∠CEB ，

∵EA 平分∠BED ，

∴∠AED ＝∠AEB ，

∴∠AED ＝∠AEB ＝∠CEB ＝60°，故：①EB 平分∠AEC ，正确；

∴△ABE 是等边三角形，

∴∠DAE ＝∠EBC ＝30°，AE ＝AB ，

∵PE ⊥AE ，

∴∠DEA ＋∠CEP ＝90°，

则∠CEP ＝30°，

故∠PEB ＝∠EBP ＝30°，

则EP ＝BP ，

又∵AE ＝AB ，AP ＝AP ，

∴△AEP ≌△ABP （SSS ），

∴∠EAP ＝∠PAB ＝30°，

∴AP ⊥BE ，故②正确；

∵∠DAE ＝30°，

∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝tan30°

∴AD ，即AD =

， ∵AB ＝CD ，

∴③AD AB =正确； ∵∠CEP ＝30°，

∴CP ＝

12

EP ， ∵EP ＝BP ， ∴CP ＝12

BP ， ∴④PB ＝2PC 正确．

综上所述：正确的共有4个．

故选：A ．

【点睛】

此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE 是等边三角形是解题关键．