高一物理——圆周运动专题复习

●知识精解

匀速圆周运动典型问题剖析

（一）运动学特征及应用

匀速圆周运动的加速度、线速度的大小不变，而方向都是时刻变化的，因此匀速圆周运动是典型的变加速曲线运动。为了描述其运动的特殊性，又引入周期（T）、频率（f）、角速度（）等物理量，涉及的物理量及公式较多。

●经典例题

1. 基本概念、公式的理解和运用

【例1】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）

A. 线速度不变 B. 角速度不变 C. 加速度为零 D. 周期不变

【例2】在绕竖直轴匀速转动的圆环上有A、B两点，如图1所示，过A、B的半径与竖直轴的夹角分别为30°和60°，则A、B两点的线速度之比为     ；向心加速度之比为     。

图1

2. 传动带传动问题

【例3】如图2所示，a、b两轮靠皮带传动，A、B分别为两轮边缘上的点，C与A同在a轮上，已知，，在传动时，皮带不打滑。求：（1）      ；（2）       ；（3）       。

  图2

（二）动力学特征及应用

物体做匀速圆周运动时，由合力提供圆周运动的向心力

且有，其方向始终指向圆心

1. 基本概念及规律的应用

【例4】如图3所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点和端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动时求杆OA和AB段对球A的拉力之比。

图3

★解析  向心力是指做匀速圆周运动物体受到的合力，而不一定是某一个力，要对物体进行受力分析。

【例5】如图4所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）

A. 球A的线速度必定大于球B的线速度

B. 球A的角速度必定小于球B的角速度

C. 球A的运动周期必定小于球B的运动周期

D. 球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力

图4

★解析  ①“向心力始终指向圆心”可以帮助我们合理处理物体的受力；② 根据问题讨论需要，解题时要合理选择向心力公式。

2. 轨迹圆（圆心、半径）的确定

【例6】甲、乙两名滑冰运动员，，，面对面拉着弹簧秤做匀速圆周运动的滑冰表演，如图5所示，两人相距0.9m，弹簧秤的示数为9.2N，下列判断中正确的是（ ）

A. 两人的线速度相同，约为40m/s

B. 两人的角速度相同，为6rad/s

C. 两人的运动半径相同，都是0.45m

D. 两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m

图5

★解析  有些匀速圆周运动的轨迹圆是比较“隐蔽”的，一旦理解错误，就会给解题带来麻烦，如本题中两人做匀速圆周运动的半径并不是两人的间距，例2中A、B做圆周运动的圆心并不是圆环的中心O等。

3. 联系实际问题

【例7】司机开着汽车在一宽阔的马路上匀速行驶突然发现前方有一堵墙，他是刹车好还是转弯好？（设转弯时汽车做匀速圆周运动，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。）

★解析  设汽车质量为m，车轮与地面的动摩擦因数为，刹车时车速为，此时车离墙距离为，为方便起见，设车是沿墙底线的中垂线运动。若司机采用刹车，车向前滑行的距离设为s，则常数，若司采取急转弯法，则（R是最小转弯半径），。

讨论：

（1）若，则急刹车或急转弯均可以；

（2）若，则急刹车会平安无事，汽车能否急转弯与墙的长度和位置有关，如图6所示，质点P表示汽车，AB表示墙，若墙长度，如图6，，则墙在AB和CD之间任一位置上，汽车转弯同样平安无事；

（3）若，则不能急刹车，但由（2）知若墙长和位置符合一定条件，汽车照样可以转弯。

点评：利用基本知识解决实际问题的关键是看能否将实际问题转化为合理的物理模型。

 图6

三. 匀速圆周运动的实例变形

（一）汽车过桥

原型：汽车过凸桥

【例8】如图1所示，汽车受到重力G和支持力FN，合力提供汽车过桥所需的向心力。假设汽车过桥的速度为v，质量为m，桥的半径为r，。

 图1

★解析  当支持力为零时，只有重力提供汽车所需的向心力，即，

1. 当汽车的速度，汽车所受的重力G小于过桥所需的向心力，汽车过桥时就会离开桥面飞起来。

2. 当汽车的速度，汽车所受的重力G恰好等于过桥需要的向心力，汽车恰好通过桥面的最高点。

3. 当汽车的速度，汽车所受的重力G大于所需的向心力，此时需要的向心力要由重力和支持力的合力共同来提供。

因此，汽车过凸桥的最大速度为。

模型一：绳拉小球在竖直平面内过最高点的运动。

【例9】如图2所示，小球所受的重力和绳的拉力的合力提供小球所需的向心力，即。

图2

★解析  当绳的拉力为零时，只有重力提供小球所需的向心力，即，

1. 当小球的速度，物体所受的重力G已不足以提供物体所需的向心力。不足的部分将由小球所受的绳的拉力来提供，只要不超过绳的承受力，已知物体的速度，就可求出对应的拉力。

2. 当小球的速度，物体所受的重力G刚好提供物体所需的向心力。

3. 当小球的速度，物体所受的重力G大于所需的向心力，此时小球将上不到最高点。

因此，绳拉小球在竖直平面内过最高点时的最小速度为。

实例：翻转过山车

【例10】如图3所示：由于过山车在轨道最高点所受的力为重力和轨道的支持力，故分析方法与模型一类似。

图3

模型二：一轻杆固定一小球在竖直平面内过最高点的运动。

【例11】如图4所示，物体所受的重力和杆对球的弹力的合力提供物体所需的向心力，即

图4

★解析  当杆对球的弹力为零时，只有重力提供小球所需的向心力，即，

1. 当小球的速度，物体所受的重力G已不足以提供物体所需的向心力。不足的部分将由小球所受的杆的拉力来提供。（此时杆对小球的弹力为向下的拉力，参考图3）。已知物体的速度，就可求出对应的拉力。

2. 当小球的速度，物体所受的重力G刚好提供物体所需的向心力。

3. 当小球的速度，物体所受的重力G大于所需的向心力，多余的部分将由杆对小球的支持力来抵消。（此时杆对小球的弹力为向上的支持力）。

4. 当小球的速度，物体所受的重力G等于杆对小球的支持力。

因此，一轻杆固定一小球在竖直平面内过最高点的最小速度为0。

（二）火车转弯

原型：火车转弯

【例12】如图5所示，火车在平直的轨道上转弯，将挤压外轨，由外轨给火车的弹力提供火车转弯所需的向心力，这样久而久之，将损坏外轨。

图5

故火车转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力的合力指向圆心，提供火车转弯所需的向心力（如图6所示）。这就减轻了轮缘与外轨的挤压。

图6

★解析  当火车的速度为时，火车所需的向心力全部由重力和支持力的合力来提供，即，。

1. 若火车的速度，将挤压外轨；

2. 若火车的速度，将挤压内轨。

模型一：圆锥摆

小球所需的向心力由重力和绳的拉力的合力来提供（如图7所示）

图7

模型二：小球在漏斗中的转动

小球所需的向心力由重力和漏斗的支持力的合力来提供（如图8所示）

图8

四. 匀速圆周运动的多解问题

匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。由于这两种运动是同时进行的，因此，依据等时性建立等式来解待求量是解答此类问题的基本思路。特别需要提醒注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，以下几例运算结果中的自然数“n”正是这一考虑的数学化。

【例13】如图13所示，直径为d的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，口发射的子弹速度为v，并沿直径匀速穿过圆筒。若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？

 图13

【例14】质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图14所示，周期为T。当P经过图中D点时，有一质量为m的另一质点Q受到力F的作用从静止开始做匀加速直线运动。为使P、Q两质点在某时刻的速度相同，则F的大小应满足什么条件？

 图14

★解析  速度相同包括大小相等和方向相同，由质点P的旋转情况可知，只有当P运动到圆周上的C点时P、Q速度方向才相同，即质点P转过周经历的时间 ①

质点P的速率   ②

在同样的时间内，质点Q做匀加速直线运动，速度应达到v，由牛顿第二定律及速度公式得 ③

联立以上三式，解得

【例15】 如图15所示，在同一竖直平面内，A物体从a点开始做匀速圆周运动，同时B物体从圆心O处自由落下，要使两物体在b点相遇，求A的角速度。

 图15

【例16】如图16，半径为R的水平圆盘正以中心O为转轴匀速转动，从圆板中心O的正上方h高处水平抛出一球，此时半径OB恰与球的初速度方向一致。要使球正好落在B点，则小球的初速度及圆盘的角速分别为多少？

 图16

★解析  要使球正好落在B点，则要求小球在做平抛运动的时间内，圆盘恰好转了n圈（）。

对小球 ①  ②

对圆盘 ③

联立以上三式，解得

●课堂练习

一. 选择题（在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确）

1. 下列说法正确的是（ ）

A. 做匀速圆周运动的物体的加速度恒定

B. 做匀速圆周运动的物体所受合外力为零

C. 做匀速圆周运动的物体的速度大小是不变的

D. 做匀速圆周运动的物体处于平衡状态

2. 如图1所示，把一个长为20cm，系数为360N/m的弹簧一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50kg的小球，当小球以的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长应为（ ）

A. 5.2cm 5.3cm 5.0cm

图1

3. 一圆盘可以绕其竖直轴在图2所示水平面内转动，圆盘半径为R。甲、乙物体质量分别是M和m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的倍，两物体用一根长为的轻绳连在一起。若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两物体均看作质点）（ ）

A.  B.  C.  D. 

图2

4. 如图3所示，一个球绕中心线以角速度转动，则（ ）

A. A、B两点的角速度相等 B. A、B两点的线速度相等

C. 若，则 D. 以上答案都不对

图3

5. 一圆盘可绕圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小木块A，它随圆盘一起运动（做匀速圆周运动），如图4所示，则关于木块A的受力，下列说法正确的是（ ）

A. 木块A受重力、支持力和向心力

B. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反

C. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心

D. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同

图4

6. 如图5所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动。圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时（ ）

A. 小球对圆环的压力大小等于mg

B. 小球受到的向心力等于重力mg

C. 小球的线速度大小等于

D. 小球的向心加速度大小等于

图5

二. 填空题

7. 一辆质量为4t的汽车驶过半径为50m的凸形桥面时，始终保持5m/s的速率。汽车所受的阻力为车对桥面压力的0.05倍。通过桥的最高点时汽车牵引力是     N。（g=10m/s2）

三. 解答题（解答应写出必要的文字说明、方程式和演算步骤）

8. m1、m2是质量分别为50g和100g的小球，套在水平光滑杆上，如图6所示。两球相距21cm，并用细线相连接，欲使小球绕轴以600r/min的转速在水平面内转动而不滑动，两球离转动中心多远？线上拉力是多大？

图6

9. 如图7所示，在水平转台上放有A、B两个小物块，它们距离轴心O分别为，，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4倍，取。

（1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围；

（2）要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角度速度应满足的条件。

图7

【答案】

1.2.3.4.5.6.7. 

8.     

9.（1） （2）

●课后作业

1、下面关于向心力的叙述中，正确的是（ ） 

A.向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力

B.做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用外，还一定受到一个向心力的作用

C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力

D.向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小

参与解析:解析：向心力是按力的作用效果来命名的，它可以是物体受力的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力.向心力时刻指向圆心与速度方向垂直，所以向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即向心力不做功. 

答案：ACD主要考察知识点:匀速圆周运动、变速圆周运动、离心现象及其应用

2、关于向心力的说法，正确的是（ ） 

A.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力

B.向心力不改变圆周运动物体速度的大小

C.做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合外力

D.做匀速圆周运动的物体其向心力大小不变

参与解析:解析：向心力并不是物体受到的一个特殊力，它是由其他力沿半径方向的合力或某一个力沿半径方向的分力提供的.因为向心力始终与速度方向垂直，所以向心力不会改变速度的大小，只改变速度的方向.当质点做匀速圆周运动时，向心力的大小保持不变. 

答案：BCD主要考察知识点:匀速圆周运动、变速圆周运动、离心现象及其应用

3、如图6-7-9所示，质量为m的木块，从半径为r的竖直圆轨道上的A点滑向B点，由于摩擦力的作用，木块的速率保持不变，则在这个过程中（ ） 

图6-7-9

A.木块的加速度为零

B.木块所受的合外力为零

C.木块所受合外力大小不变，方向始终指向圆心

D.木块所受合外力的大小和方向均不变

解析：木块做匀速圆周运动，所以木块所受合外力提供向心力. 

答案：C

主要考察知识点:匀速圆周运动、变速圆周运动、离心现象及其应用

4、甲、乙两名溜冰运动员，M甲=80 kg,M乙=40 kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图6-7-9所示，两个相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N，下列判断正确的是（ ） 

图6-7-9

A.两人的线速度相同，约为40 m/s

B.两人的角速度相同，为6 rad/s

C.两人的运动半径相同，都是0.45 m

D.两人的运动半径不同，甲为0.3 m,乙为0.6 m

解析：甲、乙两人绕共同的圆心做圆周运动，他们间的拉力互为向心力，他们的角速度相同，半径之和为两人的距离. 

设甲、乙两人所需向心力为F向，角速度为ω，半径分别为r甲、r乙.则

F向=M甲ω2r甲=M乙ω2r乙=  ①

r甲+r乙=0.9 m

由①②两式可解得只有D正确

答案：D主要考察知识点:匀速圆周运动、变速圆周运动、离心现象及其应用

●课堂小结