2012届浙江省四校高三数考卷(文)2012.2.16

数学（文）试题

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1) 计算得                                 (  ▲  )

A．     B.     C.    D. 

(2) 从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为   (  ▲  )

A．           B.         C.          D. 

(3) 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的的值是(  ▲  )

A．        B．        C．      D． 

(4) 若直线不平行于平面，且，则

A.  内的所有直线与异面          B.内不存在与平行的直线

C.内存在唯一的直线与平行       D.内的直线与都相交

(5) 在圆内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为      (  ▲  )

    A．         B．         C．      D． 

（6）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（  ▲  ）

A.（，）   B.（-，0）    C.（0，  ）     D.（，）

（7）设函数,则(  ▲     )

A.在单调递增,其图象关于直线对称

B.在单调递增,其图象关于直线对称

C.在单调递减,其图象关于直线对称

D.在单调递减,其图象关于直线对称

（8）已知函数则“”是“在上单调递减”的( ▲ )  

A．充分而不必要条件                B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件               D．既不充分也不必要条件

(9) 设双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线交双曲线右支于不同的两点、．若△为正三角形，则该双曲线的离心率为(▲)

    A．            B．                C．        D．

(10) 设是定义在上的奇函数，且当时，. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是  ( ▲ )

A.      B.        C.        D. 

二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28分.

(11) 右图是2011年CCTV青年歌手电视大奖赛上某一位选手得分的茎叶统 计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_______▲ _。

(12) 一空间几何体三视图如图所示，则该几何体的

体积为___▲   ．

（13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为______▲ _

(14) 若向量，满足，则实数的值是 ___▲   ． 

(15直线与不等式组表示平面区域的公共点

有___▲   个．

(16)  已知直线l1：4x3y+6=0和直线l2：x= 1，则抛物线y2=4x上的动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是  ▲  ；

(17) 设定义域为R的函数, 若关于x的函数

有8个不同的零点，则实数b的取值范围是___▲   ．

三．解答题：本大题共5小题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

(18)(本题满分14分) 已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点. 

（1）求的值；

（2）若函数，求函数

在区间上的取值范围．

（19）(本小题满分14分如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，是上任意一点。

（1）求证：；

（2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由

（20）(本题满分14分) 已知数列的首项，，

    （1）若，求证是等比数列并求出的通项公式；

      （2）若对一切都成立，求的取值范围。

（21）(本题满分15分)已知在与处都取得极值。

（I）求，的值；

（Ⅱ）若对时，恒成立，求实数的取值范围。

(22)(本题满分15分) 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.

(1)求抛物线的方程;

(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.

若直线的斜率为1,求的长;

是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.

2012届浙江省三校高三数考卷

数学（文）参

一．选择题： 

  11．      12.        13   14．-3           15．1

  16．2          17． 

三．解答题：

18．（本小题满分14分）解：（1）因为角终边经过点，所以

，，   ------------3分

     ---------6分

 (2)， --------8分

----10分

         ， ------------------13分

         故：函数在区间上的取值范围是

                                                     --------------14分

19．解：（1）证明：连接，设与相交于点。

    因为四边形是菱形，所以。

    又因为平面，平面

    为上任意一点，平面，所以--------------7分

（2）连．由（I），知平面，平面，所以．

在面积最小时，最小，则．

，解得--------------10分

由且得平面则，

又由得，而，故平面

作交于点，则平面,所以就是与平面所成角.

在直角三角形中， 

所以，设，则。

由得。

由得，即--------------14分

20．（本小题满分14分）（1） 由题意知，， ，

，    ……………………………… 4分

所以数列是首项为，公比为的等比数列；……………5分

 ，    ……………………8分

（2）由（1）知， ……………10分

由知，故得 ……………11分

    即  得，又，则…………14分

21．解：（1）

在与处都取得极值

。，即--------------7分

（2）由（1）可知，

令得或

，在上单调递减，在上单调递增。--------------10分

而，

所以，即在上的最大值为。--------------15分

要使对任意时，恒成立，必须。

22. 解：解:(1)由题意,可设抛物线方程为.          …………1分

由,得.                                …………2分

抛物线的焦点为,.                              …………3分

抛物线D的方程为.                                 …………4分

(2)设,.                                    …………5分

直线的方程为：,               …………6分

联立,整理得:   …………7分

=.…………9分

 (ⅱ) 设存在直线满足题意,则圆心,过作直线的垂线,垂足为,设直线与圆的一个交点为.可得:           …………10分

                               …………11分

即=

=

==                     …………13分

当时, ,此时直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值.

                                                    …………14分

因此存在直线满足题意                        …………15分