空间向量解立体几何问题

一、知识回顾

3. 利用法向量求二面角的大小的原理:

4.利用向量求点到面的距离

二、导读训练

1．若平面α与β的法向量分别是a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，则平面α与平面β的关系是(　　)

A．平行      B．垂直

C．相交但不垂直      D．无法判断

2．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)

A．l∥α      B．l⊂α

C．l⊥α      D．l⊂α或(l∥α)

3．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　)

A．－      B．6

C．－6      D. 

4．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(　　)

A.·＝0      B.·＝0

C.·＝0      D.·＝0

5．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　)

A．－3或1      B．3或－1

C．－3      D．1

6．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为(　　)

A．(1，－1,1)      B．(2，－1,1)

C．(－2,1,1)      D．(－1,1，－1)

7．已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则(　　)

A．α∥β      B．α⊥β

C．α与β相交但不垂直      D．以上都不对

8．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是(　　)

A．60°      B．45°

C．30°      D．90°

9．正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为(　　)

A.      B. 

C.      D. 

10．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于(　　)

A．45°      B．30°

C．90°      D．60°

11．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．则BD与平面ADMN所成的角θ为(　　)

A．30°      B．60°

C．120°      D．150°

12．正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)

A.      B. 

C.      D. 

13．在正方体AC1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为(　　)

A．－      B. 

C.      D. 

14．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于(　　)

A．30°　　　　　　　　　　　    B．150°

C．30°或150°      D．以上均错

15．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)

A．120°      B．60°

C．30°      D．以上均错

<填空题>

16．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．

17．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，则与平面A1D1F的关系为________．

17．下列命题中：

①若u，v分别是平面α，β的法向量，则u∥v⇔α∥β；

②若u，v分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔u·v＝0；

③若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；

④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．

其中正确的命题序号是________．

18．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．

19．已知在棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，E是BC的中点．则直线A′C与DE所成角的余弦值为________．

20．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．则异面直线AE与CF所成角的余弦值为________．

21．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A­BD­C的正弦值为________．

<解答题>

22．已知三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．

证明：CM⊥SN.

23．如图，在长方体OAEB­O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.

24．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．

25．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.证明：

(1)PA∥平面EDB；

(2)PB⊥平面EFD.

26．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．

(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；

(2)求二面角F­DE­C的余弦值．

27．如图，已知点P在正方体ABCD­A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.

(1)求DP与CC′所成角的大小；

(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．

28．(2010年高考重庆卷)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．

(1)证明：AE⊥平面PBC；

(2)若AD＝1，求二面角B­EC­D的平面角的余弦值．