高一数学正弦、余弦定理的经典题目

1．已知在中，，，，解三角形.

2在中，已知，求

3在中，角所对的三边长分别为，若，求的各角的大小．

4在中，若，求角.

5(2009·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝                                              (　　)

A．2      B．4＋2        C．4－2       D.－

6(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.

7(2010·天津模拟)在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状                                                   (　　)

A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

8．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是                  (　　)

A．直角三角形                    B．等腰三角形

C．等腰直角三角形                D．正三角形

9．在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝                          (　　)

A.       B.     C.        D. 

10．(2009·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.

(1)求△ABC的面积；

(2)若c＝1，求a的值．

11.若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是          (　　)

A．5       B．6      C．7       D．8

12．(文)在三角形ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为 (　　)

A．60°        B．75°      C．90°          D．115°

13．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.

14．(文)(2010·长郡模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＜C＜且＝

(1)判断△ABC的性状；

(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．

15.(理)(2010·广州模拟)在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设m＝(cos，sin)，n＝(cos，－sin)，m，n的夹角为.

(1)求C的大小；

(2)已知c＝，三角形的面积S＝，求a＋b的值．

16．(2010·江西)E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝(　　)

A.          B. 

C.          D. 

17．(2011·青岛模拟)△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg且B∈，则△ABC的形状是(　　)

A．等边三角形  B．直角三角形

C．等腰三角形  D．等腰直角三角形

18．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为(　　)

A．1＋      B．3＋

C.      D．2＋

19．(2010·江苏)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝6cosC，则＋的值是________．

20．(2010·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．

21．(2010·新课标全国)在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°.若AC＝AB，则BD＝________.

21．(2010·全国Ⅰ)已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a＋b＝a＋b，求内角C.

22．(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.

(1)求A的大小；

(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

23．(2010·陕西)如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

9．(2010·新课标全国)在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°.若AC＝AB，则BD＝________.

解析：如图，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则由题设可知BD＝a，CD＝a，所以根据余弦定理可得b2＝()2＋2－2××acos45°，c2＝()2＋2－2××acos135°，由题意知b＝c，

可解得a＝6＋3，所以BD＝a＝2＋.

答案：2＋

10．(2010·新课标全国)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________.

解析：由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，又因为AD＝2，所以S△ADC＝AD·DCsin60°＝3－，所以DC＝2(－1)，又因为BD＝DC，所以BD＝－1，过A点作AE⊥BC于E点，则S△ADC＝DC·AE＝3－，所以AE＝，又在直角三角形AED中，DE＝1，所以BE＝，在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，在直角三角形AEC中，EC＝2－3，所以tan∠ACE＝＝＝2＋，所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.

答案：60°

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．(2010·全国Ⅰ)已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a＋b＝a＋b，求内角C.

解：由a＋b＝a＋b及正弦定理得

sinA＋sinB＝cosA＋cosB，

即sinA－cosA＝cosB－sinB，

从而sinAcos－cosAsin＝cosBsin－sinBcos，

即sin＝sin.

又0故A－＝－B，A＋B＝，

所以C＝.

12．(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.

(1)求A的大小；

(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状． 

解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，

故cosA＝－，又A∈(0，π)，故A＝120°.

(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.

又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝.

因为0°所以△ABC是等腰的钝角三角形．

13．(2010·陕西)如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝－，

∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.

在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，

由正弦定理得＝，

∴AB＝＝＝＝5.