2014年高考数学全国卷Ⅱ理科及答案

理科数学

第Ⅰ卷

一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合M＝{0，1，2}，N＝{x｜x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝（   ）

A．{1}            　B．{2}               C．{0，1}            D．{1，2}

2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝（   ）

A．－5              B．5               C．－4＋i            D．－4－i

3．设向量a，b满足｜a＋b｜＝，｜a－b｜＝，则a·b＝（   ）

A．1              B．2               C．3                 D．5

4．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（   ）

    A．5              B．               C．2                 D．1

5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（   ）

A．0.8              B．0.75           C．0.6             D．0.45

6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（   ）

A．              B．                 C．                 D．

7．执行右图程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝（    ）

A．4              B．5               C．6                 D．7

（第6题图）

（第7题图）

8．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝（   ）

A．0              B．1             C．2              D．3 

9．设x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为（   ）

A．10              B．8             C．3              D．2

10．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（   ）

A．            B．           C．             D．

11．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，

则BM与AN所成的角的余弦值为（   ）

A．                  B．             C．            D．

12．设函数f(x)＝sin，若存在f(x)的极值点x0满足x02＋[f(x0)] 2＜m2，则m的取值范围是（   ）

A．(－∞，－6)∪(6，＋∞) 

B．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．

二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______．(用数字填写答案)

14．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为______．

15．已知偶函数f(x)在[0，﹢∞)单调递减，f(2)＝0．若f(x－1)＞0，则x的取值范围是______．

16．设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是______．

三 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1．

（Ⅰ）证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：＋＋……＋＜．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD中点．

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E-ACD的体积．

19．（本小题满分12分）

某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

＝，＝－．

20．（本小题满分12分）

设F1，F2分别是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N．

（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且｜MN｜＝5｜F1N｜，求a，b．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝ex－e-x－2x．

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）设g(x)＝f(2x)－4b f(x)，当x＞0时，g(x)＞0，求b的最大值．

（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．证明：

（Ⅰ）BE＝EC；

（Ⅱ）AD·DE＝2PB2．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]．

（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

    设函数f(x)＝｜x＋｜＋｜x－a｜（a＞0）

（Ⅰ）证明：f(x)≥2；

（Ⅱ）若f(3)＜5，求a的取值范围．