2016年高考数学浙江(文科)试题及答案【解析版】

一．选择题（共8小题）

1．【2016浙江（文）】已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁UP）∪Q=（　　）

A．{1}    B．{3，5}    C．{1，2，4，6}    D．{1，2，3，4，5}

【答案】C

【解析】解：∁UP={2，4，6}，

（∁UP）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}．

 2．【2016浙江（文）】已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　）

A．m∥l    B．m∥n    C．n⊥l    D．m⊥n

【答案】C

【解析】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，

∴m∥β或m⊂β或m⊥β，l⊂β，

∵n⊥β， ∴n⊥l．　

3．【2016浙江（文）】函数y=sinx2的图象是（　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】解：∵sin（﹣x）2=sinx2，

∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；

由y=sinx2=0，

则x2=kπ，k≥0，

则x=±，k≥0，

故函数有无穷多个零点，排除B，

4．【2016浙江（文）】若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】解：作出平面区域如图所示：

∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．

联立方程组，解得A（2，1），

联立方程组，解得B（1，2）．

两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．

∴平行线间的距离为d==，

5．【2016浙江（文）】已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（　　）

A．（a﹣1）（b﹣1）＜0    B．（a﹣1）（a﹣b）＞0    C．（b﹣1）（b﹣a）＜0    D．（b﹣1）（b﹣a）＞0

【答案】D

【解析】解：若a＞1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，

若0＜a＜1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，

综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，

 6．【2016浙江（文）】已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】解：f（x）的对称轴为x=﹣，fmin（x）=﹣．

（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，

即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．

∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．

（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，

则fmin（x）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．

∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．

 7．【2016浙江（文）】已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R．（　　）

A．若f（a）≤|b|，则a≤b    B．若f（a）≤2b，则a≤b

C．若f（a）≥|b|，则a≥b    D．若f（a）≥2b，则a≥b

【答案】B

【解析】解：A．若f（a）≤|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，

即|a|≤|b|，则a≤b不一定成立，故A错误，

B．若f（a）≤2b，

则由条件知f（x）≥2x，

即f（a）≥2a，则2a≤f（a）≤2b，

则a≤b，故B正确，

C．若f（a）≥|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，则|a|≥|b|不一定成立，故C错误，

D．若f（a）≥2b，则由条件f（x）≥2x，得f（a）≥2a，则2a≥2b，不一定成立，即a≥b不一定成立，故D错误，

 8．【2016浙江（文）】如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（　　）

A．{Sn}是等差数列    B．{Sn2}是等差数列

C．{dn}是等差数列    D．{dn2}是等差数列

【答案】A

【解析】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=b，

|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，

由于a，b不确定，则{dn}不一定是等差数列，

{dn2}不一定是等差数列，

设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，

由三角形的相似可得==，

==，

两式相加可得，==2，

即有hn+hn+2=2hn+1，

由Sn=d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，

即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，

则数列{Sn}为等差数列．

故选：A．

二．填空题（共7小题）

9．【2016浙江（文）】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是　 　cm2，体积是　 　cm3．

【答案】80；40．

【解析】解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，

表面积为2×4×4+2×42=cm2，体积为2×42=32cm3；

上部为正方体，其棱长为2，

表面积是6×22=24 cm2，体积为23=8cm3；

所以几何体的表面积为+24﹣2×22=80cm2，

体积为32+8=40cm3．

 10．【2016浙江（文）】已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是　　，半径是 　．

【答案】（﹣2，﹣4），5

【解析】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，

∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．

当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，

配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；

当a=2时，方程化为，

此时，方程不表示圆，

11．【2016浙江（文）】已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=　　，b=　 　．

【答案】；1．

【解析】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x

=1+（cos2x+sin2x）+1

=sin（2x+）+1，

∴A=，b=1，

 12．【2016浙江（文）】设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a=　 　，b=　 　．

 【答案】﹣2；1．

【解析】解：∵f（x）=x3+3x2+1，

∴f（x）﹣f（a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）

=x3+3x2﹣（a3+3a2）

∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b，

且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，

∴，解得或（舍去），

 13．【2016浙江（文）】设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是　 　．

【答案】（）．

【解析】解：如图，

由双曲线x2﹣=1，得a2=1，b2=3，

∴．

不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，

把x=2代入x2﹣=1，得y=±3，即|PF2|=3，

此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；

由PF1⊥PF2，得，

又|PF1|﹣|PF2|=2，①

两边平方得：，

∴|PF1||PF2|=6，②

联立①②解得：，

此时|PF1|+|PF2|=．

∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（）．

 14．【2016浙江（文）】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是　　．

【答案】

【解析】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，

在Rt△ACD′中，=．

作D′E⊥AC，垂足为E，D′E==．

CO=，CE===，

∴EO=CO﹣CE=．

过点B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．

则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=．

EF=BO==．

则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．

则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥，cosθ=1时取等号．

∴D′B的最小值==2．

∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===．

故答案为：．

 15．【2016浙江（文）】已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是　 　．

 【答案】

【解析】解：||+||=，

其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，

当与共线时，取得最大值．

∴=．

三．解答题（共5小题）

16．【2016浙江（文）】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．

（1）证明：A=2B；

（2）若cosB=，求cosC的值．

 【解析】（1）证明：∵b+c=2acosB，

∴sinB+sinC=2sinAcosB，

∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），

∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．

∴A=2B．

（II）解：cosB=，∴sinB==．

cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．

∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．

 17．【2016浙江（文）】设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．

（Ⅰ）求通项公式an；

（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．

 【解析】解：（Ⅰ）∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．

∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，

解得a1=1，a2=3，

当n≥2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，

两式相减得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，

即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3，

满足an+1=3an，

∴=3，则数列{an}是公比q=3的等比数列，

则通项公式an=3n﹣1．

（Ⅱ）an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，

设bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，

则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，

当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，

则bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，

此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+﹣=，

则Tn==．

18．【2016浙江（文）】如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．

（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．

 【解析】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：

∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；

∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK；

∴BF⊥AC；

又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；

∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；

∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；

∴BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；

∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；

∵F为CK中点，且DF∥AC；

∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；

∴；

又；

∴在Rt△BFD中，，cos；

即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为．

19．【2016浙江（文）】如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1，

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．

 【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离，

由抛物线定义得，，即p=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t≠0，t≠±1，

∵AF不垂直y轴，

∴设直线AF：x=sy+1（s≠0），

联立，得y2﹣4sy﹣4=0．

y1y2=﹣4，

∴B（），

又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，

从而得FN：，直线BN：y=﹣，

则N（），

设M（m，0），由A、M、N三点共线，得，

于是m==，得m＜0或m＞2．

经检验，m＜0或m＞2满足题意．

∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．

20．【2016浙江（文）】设函数f（x）=x3+，x∈[0，1]，证明：

（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2

（Ⅱ）＜f（x）≤．

 【解析】解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x3+，x∈[0，1]，

且1﹣x+x2﹣x3==，

所以≤，

所以1﹣x+x2﹣x3≤，

即f（x）≥1﹣x+x2；

（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x，

所以f（x）=x3+≤x+=x+﹣+=+≤；

由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x2=+≥，

且f（）=+=＞，

所以f（x）＞；

综上，＜f（x）≤．

绝密★启封前

 2016年浙江省高考数学试卷（文科）

一、选择题（本大题8小题，每题5分，共40分）

1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁UP）∪Q=（　　）

   A．{1}        B．{3，5}        C．{1，2，4，6}          D．{1，2，3，4，5}

2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　）

   A．m∥l       B．m∥n            C．n⊥l            D．m⊥n

3．函数y=sinx2的图象是（　　）

   A．                      B．    

   C．                      D．

4．若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）

   A．          B．        C．       D．

5．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（　　）

   A．（a﹣1）（b﹣1）＜0              B．（a﹣1）（a﹣b）＞0    

   C．（b﹣1）（b﹣a）＜0              D．（b﹣1）（b﹣a）＞0

6．已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（　　）

   A．充分不必要条件                  B．必要不充分条件

   C．充分必要条件                      D．既不充分也不必要条件

7．已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R．（　　）

   A．若f（a）≤|b|，则a≤b              B．若f（a）≤2b，则a≤b

   C．若f（a）≥|b|，则a≥b              D．若f（a）≥2b，则a≥b

8．如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1，

n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（　　）

 A．{Sn}是等差数列     B．{Sn2}是等差数列   C．{dn}是等差数列      D．{dn2}是等差数列

二、填空题（本大题7小题，9、10、11、12每题6分，13、14、15每题4分，共36分）

9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是　　　　　　cm2，体积是　　　　　　cm3．

10．已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是　　　　　　，半径是　　　　　　．

11．已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=　　　　　　，b=　　　　　　．

12．设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a=　　　　　　，b=　　　　　　．

13．设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是　　　　　　．

14．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是　　　　　　．

15．已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是　　　　　　．

三、解答题（本大题5小题，共74分）

16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．

（1）证明：A=2B；

（2）若cosB=，求cosC的值．

17．（15分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．

（Ⅰ）求通项公式an；

（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．

18．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．

（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．

19．（15分）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1，

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．

20．（15分）设函数f（x）=x3+，x∈[0，1]，证明：

（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2

（Ⅱ）＜f（x）≤．

2016年浙江省高考数学试卷（文科）

一、选择题

1．【解答】解：∁UP={2，4，6}，（∁UP）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}．

故选C．

2．【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，

∴m∥β或m⊂β或m⊥β，l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l．

故选：C．

3．【解答】解：∵sin（﹣x）2=sinx2，

∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；

由y=sinx2=0，则x2=kπ，k≥0，则x=±，k≥0，故函数有无穷多个零点，排除B，

故选：D

4．【解答】解：作出平面区域如图所示：

∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．

联立方程组，解得A（2，1），

联立方程组，解得B（1，2）．

两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．

∴平行线间的距离为d==，

故选：B．

5．【解答】解：若a＞1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＞a＞1，

此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，

若0＜a＜1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＜a＜1，

此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，

综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，

故选：D．

6．【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，fmin（x）=﹣．

（1）若b＜0，则﹣＞﹣，

∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，

即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．

∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．

（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，

则fmin（x）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．

∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．

故选A．

7．【解答】解：A．若f（a）≤|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，

即|a|≤|b|，则a≤b不一定成立，故A错误，

B．若f（a）≤2b，则由条件知f（x）≥2x，即f（a）≥2a，则2a≤f（a）≤2b，

则a≤b，故B正确，

C．若f（a）≥|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，则|a|≥|b|不一定成立，故C错误，

D．若f（a）≥2b，则由条件f（x）≥2x，得f（a）≥2a，则2a≥2b，不一定成立，即a≥b不一定成立，故D错误，

故选：B

8．【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，

|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，

由于a，c不确定，则{dn}不一定是等差数列，{dn2}不一定是等差数列，

设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，

由三角形的相似可得==，

==，两式相加可得，==2，

即有hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，

即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，

则数列{Sn}为等差数列．

故选：A．

二、填空题

9．【解答】解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，

表面积为2×4×4+2×42=cm2，体积为2×42=32cm3；

上部为正方体，其棱长为2，表面积是6×22=24 cm2，体积为23=8cm3；

所以几何体的表面积为+24﹣2×22=80cm2，体积为32+8=40cm3．

故答案为：80；40．

10．【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，

∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．

当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，

配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；

当a=2时，方程化为，

此时，方程不表示圆，

故答案为：（﹣2，﹣4），5．

11．【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）+1

=sin（2x+）+1，∴A=，b=1，

故答案为：；1．

12．【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+1，

∴f（x）﹣f（a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）=x3+3x2﹣（a3+3a2）

∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b，

且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，

∴，解得或（舍去），

故答案为：﹣2；1．

13．【解答】解：如图，由双曲线x2﹣=1，得a2=1，b2=3，∴．

不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，

把x=2代入x2﹣=1，得y=±3，即|PF2|=3，

此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；

由PF1⊥PF2，得，

又|PF1|﹣|PF2|=2，①  两边平方得：，

∴|PF1||PF2|=6，②  联立①②解得：，

此时|PF1|+|PF2|=．

∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（）．故答案为：（）．

14．【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，

在Rt△ACD′中，=．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E==．

CO=，CE===，∴EO=CO﹣CE=．

过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．

则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=．EF=BO==．

则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．

则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥，cosθ=1时取等号．

∴D′B的最小值==2．

∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===．故答案为：．

15．【解答】解：||+||=，

其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，

当与共线时，取得最大值．

∴=．  故答案为：．

三、解答题

16．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，

∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），

∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．

∴A=2B．

（II）解：cosB=，∴sinB==．

cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．

∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．

17．【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．

∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1， 解得a1=1，a2=3，

当n≥2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1， 两式相减得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，

即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3， 满足an+1=3an，

∴=3，则数列{an}是公比q=3的等比数列， 则通项公式an=3n﹣1．

（Ⅱ）an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，   

设bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，

则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，

当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，

则bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，

此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和

Tn=3+﹣ = ，

则Tn==．

18．【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：

∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；

∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK； ∴BF⊥AC；

又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；

∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；

∴BF⊥CK，且AC∩CK=C； ∴BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；

∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；

∵F为CK中点，且DF∥AC；

∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；∴；

又；

∴在Rt△BFD中，，cos；

即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为．

19．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离， 由抛物线定义得，，即p=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t≠0，t≠±1，

∵AF不垂直y轴， ∴设直线AF：x=sy+1（s≠0），

联立，得y2﹣4sy﹣4=0．  y1y2=﹣4，  ∴B（），

又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，

从而得FN：，直线BN：y=﹣，  则N（），

设M（m，0），由A、M、N三点共线，得，

于是m==，得m＜0或m＞2．

经检验，m＜0或m＞2满足题意．

∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．

20．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x3+，x∈[0，1]，

且1﹣x+x2﹣x3==，所以≤，

所以1﹣x+x2﹣x3≤，即f（x）≥1﹣x+x2；

（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x，

所以f（x）=x3+≤x+=x+﹣+=+≤；

由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x2=+≥，

且f（）=+=＞，所以f（x）＞；

综上，＜f（x）≤．