17.系数公式

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高考数学母题

     [母题]Ⅰ(12-17):系数公式(277)                                               705     

系数公式

   [母题]Ⅰ(12-17):已知、是平面内的两个不共线的单位向量,<, >=θ,动点P满足:| |=t,

<,>=α.若=λ+μ,则λ=,μ=.

[解析]:由=λ+μ=λ2+μ,=λ+μ2tcosα=λ+μcosθ,

tcos(θ-α)=λcosθ+μλ=,μ=.

[点评]:我们把该结论称为系数公式;系数公式体现的解题思想(我们称为数积法)是解决向量问题的重要方法,我们将在下面给出专题论述;利用系数公式可直接解决一类高考试题;利用系数公式还可巧妙构造精品试题;系数公式具有母题的标准特征.

   [子题](1):(2006年福建高考试题)己知||=1,| |=, =0点C在∠AOB内,且∠AOC=300,若=m+

n (m,n∈R),则=(   )                                                (A)   (B)3   (C)   (D) 

[解析]:设||=t,由∠AOC=300∠BOC=600=t, = t;由=m+n=m2+

n,=m+n2t=m, t=3n=3.故选(B).

   注:上述解法利用了母题的解思想,实质上,也可刊用母题结论直接求解:设||=t,由题知,θ=900,α=300λ=

t,μ=t;又由=m+n=m+nm=λ=t, n=μ=t=3.

   [子题](2):(2009年安徽高考试题)给定两个长度为1的平面向量和,

它们的夹角为1200.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变功,若=x

+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是        .

[解析]:设∠AOC=α,由x==sin(1200-α),y==sinαx+y= [sin(1200-α)+sinα]=

[(cosα+sinα)+sinα]=2sin(α+300)≤2,当且仅当α=600时,等号成立x+y的最大值是2.

   注:该题短小精悍,内含丰富,是母题生成的绝佳好题,对于此题我们将在下面给出专题论述,进行引伸拓展.

   [子题](3):(2006年全国高中数赛陕西初赛试题)设P为△ABC内一点,且=+,则△ABP的面积与△ABC的面积之比为(   )    (A)                    (B)                (C)                (D) 

[解析]:设与、同向的单位向量分别为a、b,且=xa, =yb,∠BAC=θ,∠PAB=α,| |=t;若=λ+μ

,则=λxa+μyb,由系数公式得μy=△ABP的面积与△ABC的面积之比=xtsinα: xysinθ==μ.本题中,μ=.故选(A).

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   注:本题给出了三角面积比的一般性结论,三角面积比问题是数学竞赛的热点,随着高考的继续,相信这个热点会很快引燃到高考中,所以,这个简明的结论具有记忆价值.

   [子题系列]:

1.(2007年陕西高考试题)如图,平面内有三个向量、、,其中与的夹角为1200,

与的夹角为300,且==1,| |=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为      .

2.(2009年湖南高考试题)如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,

若,则x=      ;y=       .

3.(2012年大纲高考试题)△ABC中,AB边的高为CD,若=a, =b,ab=0,|a|=1,|b|=2,则=(   )

(A) a-b                   (B) a-b                   (C) a-b                   (D) a-b

4.(2010年全国高中数赛湖北初赛试题)已知=a, =b,过O作直线AB的垂线,垂足为P,若|a|=3,|b|=,∠AOB

=,=xa+yb,则x-y=         .

5.(2013年全国高中数赛安徽初赛试题)设△ABC的外接圆圆心P满足= (+),则cos∠BAC=      .

6.(原创题)在平面直角坐标系中,已知坐标原点O到直线AB的距离为2,点P在圆:x2+y2=16上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值是            .

7.(2011年全国高中数赛湖北初赛试题)已知P是△ABC所在平面上一点,满足++2=3,则△ABP与△ABC的面积之比为             .

8.(2004年全国高中数赛试题)设O点在三角形ABC内部,且有+2+3=,则△ABC的面积与△A0C的面积的比为(   )                                                              (A)2   (B)   (C)3   (D) 

   [子题详解:

1.解:由t=2,θ=1200,α=300λ=2=4,μ=2=2λ+μ=6.

2.解:设AB=2,则DE=BC=2BD=AD2=22+()2-22acos∠ABD=(10+4)AD=cosα=

cos∠BAD=sinα=x==1+,y==.

3.解:由CD:AD=BD:CD=1:2AD:DB=1:4=.故选(D).

4.解:由3x==-x=-;y==y=x-y=-2.

5.解:由= (+)= (2+),= (+2) cosA=.

6.解:设OH⊥AB于H,则|OH|=2, = =| |2=4;由=λ+μ=λ+μ

||||cos<,>=4λ+4μλ+μ=2cos<,>≤2λ+μ的最大值是2.

7.解:由++2=3=(-)+2(-)=+2[(-)-]=-+比为.

8.解:由+2+3==2+3=2(-)+3(-)=+△ABC的面积与△A0C的面积的比为3.故选(C).