2015年上海春季高考数学试题及答案

2015.1

一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）

1. 设全集为，，若集合则        ；

2. 计算：        ；（其中为虚数单位）

3. 函数的最小正周期为        ；

4. 计算：        ；

5. 以为圆心，为半径的圆的标准方程为        ；

6. 已知向量，，若，则        ；

7. 函数，的值域为        ；

8. 若线性方程组的增广矩阵为，解为，则        ；

9. 方程的解集为        ；

10. 在的二项展开式中，常数项的值为        ；

11. 用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为        ；（结果用数值表示）

12. 已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为、，若动点满足，则的轨迹方程为        ；

二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）

13. 若，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.          B.          C.          D.；

14. 函数的反函数为（    ）

A.                  B.  

C.                  D. 

15. 不等式的解集为（    ）

A.      B.      C.      D. 

16. 下列函数中，是奇函数且在上单调递增的为（    ）

A.       B.         C.       D. 

17. 直线的倾斜角为（ ）

 A.   

18. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ）

   A.   

19. 以和为焦点，长轴长为的椭圆方程为（ ）

 A.   

20. 在复平面上，满足（为虚数单位）的复数对应的点的轨迹为（ ）

 A. 椭圆 圆 线段 直线

21. 若无穷等差数列的首项，公差，的前项和为，则（ ）

A.单调递减 单调递增 

C.有最大值 有最小值

22. 已知，，若，则（ ）

 A.有最小值 有最小值

C.有最大值 有最大值

23. 组合数恒等于（ ）

A.   

24. 设集合，，，

，其中，下列说法正确的是（ ）

A.对任意，是的子集；对任意的，不是的子集

B. 对任意，是的子集；存在，使得是的子集

C. 存在，使得不是的子集；对任意的，不是的子集

D. 存在，使得不是的子集；存在，使得是的子集

三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）

25. 如图，在正四棱柱中，，和平面所成的角的大

小为，求该四棱柱的表面积；

26. 已知为实数，函数是奇函数，求在上的最小值及取到最小值时所对应的的值；

27. 某船在海平面处测得灯塔在北偏东方向，与相距海里，船由向正北方向航行海里到达处，这时灯塔与船相距多少海里（精确到海里）？在船的什么方向（精确到）？

28. 已知点、依次为双曲线的左右焦点，，

，；

（1）若，以为方向向量的直线经过，求到的距离；

（2）若双曲线上存在点，使得，求实数的取值范围；

29. 已知函数；

（1）解不等式；

（2）数列满足，为的前项和，对任意的，不等式

恒成立，求实数的取值范围；

附加题

一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）

1. 对于集合、，“”是“”的（    ）

   A. 充分非必要条件          B. 必要非充分条件

C. 充要条件                D. 既非充分也非必要条件

2. 对于任意实数、，均成立，则实数的取值范围是（    ）

   A. B. C. D. 

3. 已知数列满足，那么（    ）

   A.是等差数列 B.是等差数列

C.是等差数列               D.是等差数列

二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）

4. 关于的实系数一元二次方程的两个虚数根为、，若、在复平

面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为        ；

5. 已知圆心为O，半径为1的圆上有三点A、B、C，若，则

        ；

6. 函数与的图像拼成如图所示的“Z”字形

折线段，不含，，，

，五个点，若的图像关于

原点对称的图形即为的图像，则其中一个函数

的解析式可以为        ；

三. 解答题（本大题12分）

7. 对于函数、，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”

（1）已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？若存在，写出的解析式；若不存在，说明理由；

（2）已知函数、的定义域为，当时， 

，若存在函数及，使得是的“关联函数”，且

是的“关联函数”，求方程的解；

参

一. 填空题

1.； ； ； ；

5.； ； ； ；

9.； ； ； ；

二. 选择题

13. D； ； ； ； ； ；

19. B； ； ； ； ； ；

三. 解答题

25.；

26.，，；

27.海里，南偏东；

28.（1）；（2）；

29.（1）；（2）；

附加题

1. C； ； ；

4.； ； ；

7.（1）不存在，定义域不为；（2）；