对数函数练习题1(答案)

1．对数的运算性质：

如果  a > 0 ， a  1， M > 0 ，N > 0，  那么（1）；（2）；

（3）．

证明：（性质1）设，，    

（性质3）

设，

由对数的定义可得  ，

∴，

∴，

即证得．

 由对数的定义可得  ，，

∴，

∴，

即证得．

练习：证明性质2．

说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；

（2）注意有时必须逆向运算：如  ；

（3）注意定义域：  是不成立的，

                 是不成立的；

（4）当心记忆错误：，试举反例，    

                  ，试举反例。

2．例题分析：

例1．用，，表示下列各式： （2）

．

（1）；  （2）．

解：（1）

；

例2．求下列各式的值：

（1）；    （2）．

解：（1）原式==；

（2）原式=

例3．计算：（1）lg1421g；    （2）；      （3）．

解：（1）解法一： 

；

解法二： =；

说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。

（2）；

（3）=．

例4．已知，，求的值。

分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。

解：             ．

说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。

例5．已知，求．

分析：由于是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，的存在使变形产生困难，故可考虑将移到等式左端，或者将变为对数形式。

解：（法一）由对数定义可知： ．

（法二）由已知移项可得，即，由对数定义知：，∴．

（法三），∴，∴．

说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。

例6．（1）已知，用a表示；（2）已知，，用、表示．

解：（1）∵，∴， ∴  log 3 4  log 3 6 =．

（2）∵，  ∴，     

又∵，∴=．

换底公式

1．换底公式： ( a > 0 , a  1 ；)

证明：设，则，两边取以为底的对数得：，∴，

从而得： ，     ∴．

说明：两个较为常用的推论：

（1）；  （2）（、且均不为1）．

证明：（1）；（2）．

2．例题分析：

例1．计算：（1）；          （2）．   

解：（1）原式 =；

 （2） 原式 =．

例2．已知，，求（用 a, b 表示）．

解：∵，     ∴，   ∴，

又∵，    ∴，   ∴．

例3．设，求证：．

证明：∵，∴，

      ∴．

例4．若，，求．

解：∵， ∴，

   又∵，∴， ∴         ∴．

例5．计算：．

解：原式      

        ．

例6．若，求．

解：由题意可得：， ∴，∴．

对数函数

例1．求下列函数的定义域：

（1）；    （2）；   （3）．

分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。

解：（1）由>0得，∴函数的定义域是；

（2）由得，∴函数的定义域是；

（3）由9-得-3，∴函数的定义域是．

说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。

例2．求函数和函数的反函数。

解：（1）   ∴  ；

   （2）    ∴  ．

例4．比较下列各组数中两个值的大小：

 （1），；  （2），；  （3），.

解：（1）对数函数在上是增函数，

于是；

（2）对数函数在上是减函数，

于是；

（3）当时，对数函数在上是增函数，

于是，

         当时，对数函数在上是减函数，

于是．

例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：

（1），；                    （2），；  

（3），，；        （4），，．

解：（1）∵，，∴；

   （2）∵，  ，∴．

   （3）∵，，，

∴．

   （4）∵，        ∴．

例6．已知，比较，的大小。

解：∵，  ∴，当，时，得，

∴， ∴．当，时，得，

∴， ∴．当，时，得，，

∴，， ∴．

综上所述，，的大小关系为或或．

例7．求下列函数的值域：

（1）；（2）；（3）（且）．

解：（1）令，则，   ∵， ∴，即函数值域为．

 （2）令，则，   ∴， 即函数值域为．

 （3）令，     当时，， 即值域为，

     当时，， 即值域为．

例8．判断函数的奇偶性。

解：∵恒成立，故的定义域为， 

，所以，为奇函数。

例9．求函数的单调区间。

解：令在上递增，在上递减，

又∵，     ∴或，

故在上递增，在上递减，   又∵为减函数，

所以，函数在上递增，在上递减。

说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。

例10．若函数在区间上是增函数，的取值范围。

解：令，    ∵函数为减函数，

∴在区间上递减，且满足，∴，解得，

所以，的取值范围为．

对数函数

1 如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为(    )．

　　（A）  

　　（B）            

　　（C） 

　　（D） 

2.函数y=logx－1(3－x)的定义域是            

如果对数有意义，求x的取值范围；

解：要使原函数有意义，则

解之得： 

∴原函数的定义域为-7，-6) (-6，-5) (-1，+)

函数的定义域为一切实数，求k的取值范围。

利用图像判断方程根的个数

3．已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数。

解：因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知：①当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；

②当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；

③当时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。

4．若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围．

解：由原方程可化为

，变形整理有

（*）

，，由于方程（*）的根为正根，则

解之得，从而

5．求函数的单调区间．

．解：设，，由得，知定义域为

又，则当时，是减函数；当时，是增函数，而在上是减函数

的单调增区间为，单调减区间为

题目2】求函数的单调区间。

正解】由得x＜1或x＞5，即函数的定义域为{x| x＜1或x＞5}，

当x＜1时，是减函数，是减函数，所以是增函数；

当x＞5时，是增函数，是减函数，所以是减函数；

所以的增区间是（-∞，1）；减区间是（5，∞，）。

6、设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围．

　　分析：由值域为 和对数函数的单调性可将问题转化为 能取遍所有正实数的问题．

　　解： 令 ，依题意 应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集．则有 或 ，解得 ．

已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］.

(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.

解：(1)(a2－1)x2+(a+1)x+1＞0对x∈R恒成立.

a2－1=0时，a=±1，经检验a=－1时恒成立；

a2－1≠0时， 

a＜－1或a＞ ，

∴a≤－1或a＞ .

(2)a2－1=0，即a=1时满足值域为R；

a2－1≠0时， 

1＜a≤ .

∴1≤a≤ .

7的定义域为R，求a的取值范围。

【正解】①当a=0时，y=0，满足条件，即函数y=0的定义域为R；

②当a≠0时，由题意得：；

由①②得a的取值范围为[0，4）。

【评注】参数问题，分类要不重不漏，对于不等式不一定是一元二次不等式。

8.函数y=log［(1－x)(x+3)］的递减区间是(    )

A.(－3,－1)         B.(－∞,－1)   C.(－∞,－3)            D.(－1，＋∞)

【解析】设t＝(1－x)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4由(1－x)(x＋3)＞0得－3＜x＜1当x∈(－3，－1)时，t＝(1－x)(x＋3)递增∴y＝log［(1－x)(x＋3)］的递减区间是(－3，－1)

9.已知函数y＝loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是(    )

A.0＜a＜1       B.a＞1   C.1＜a＜2            D.1＜a≤2

【解析】若0＜a＜1，则函数在定义域上是增函数；若a＞1，则当0≤x≤1时，2－ax＞0恒成立即x＜，因此＞1∴1＜a＜2

10.求函数y=loga(2-ax-a2x)的值域。

【解】由于2-ax-a2x>0，得-2又当a>1时，y=logat递增，∴yloga2。

故当a>1时，所求的值域为（-∞，loga2）；当011.求函数y=log2·log2 (x∈［1,8］)的最大值和最小值.

【解】 令t=log2x,x∈［1,8］,则0≤log2x≤log28即t∈［0,3］

∴y=(log2x－1)(log2x－2)=(t－1)(t－2)=t2－3t+2=(t－)2－  t∈［0,3］

∴当t=,即log2x=,x=2=2时，y有最小值=－.

当t=0或t=3，即log2x=0或log2x=3,也即x=1或x=8时，y有最大值=2.

12.设函数y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),（1）求f(x)的表达式及定义域；（2）求f(x)的值域。

【解】（1）若lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)有意义，

则又∵lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),∴lgy=3x(3-x)。∴y=103x(3-x)(0（2）∵3x(3-x)=-3x2+9x=-3(x-)2+ (0∴y=f(x)的定义域为（0，3），值域为（1，10）。

13函数 在区间 上的最大值比最小值大2，则实数 =___．或 ；　

14已知函数 ．① 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性；　② 当 时，求 的最大值，最小值及相应的 值．

①在 上单调递减，在 上单调递增．②当 时， ，当 时， ．

15、已知函数y=loga(1－ax)(a＞0且a≠1)。(1)求函数的定义域和值域；(2)证明函数图象关于直线y=x对称。

 (1)当a＞1时，函数的定义域和值域均为(－∞，0)；当0＜a＜1时，函数的定义域和值域均为(0，+∞)。

(2)由y=loga(1－ax)，得1－ax=ay，即ax=1－ay，∴x=loga(1－ay)，∴f－1(x)=loga(1－ax)=f(x)。

∵f(x)与f－1的图象关于直线y=x对称，函数y=loga(1－ax)的图象关于直线y=x对称。

16、.设，求函数的最大值。

、12

17、已知函数。

(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的值域。

 (1)函数的定义域为(1，p)。(2)当p＞3时，f(x)的值域为(－∞，2log2(p+1)－2)；

当1＜p=时，f(x)的值域为(－，1+log2(p+1))。

18、已知，  求函数的最大值和最小值 、

19：已知的减函数，则的取值范围是（    ）

    A．（0，1）        B．（1，2）   C．（0，2）        D．    答案：B。

    解析：本题作为选择题，用排除法求解较简，由于这里虽然有，故在[0，1]上定为减函数，依题设必有，故应排除A和C，在B、D中要作选择，可取，则已知函数为，但是此函数的定义域为，它当然不可能在区间[0，1]上是减函数，故又排除了D，从而决定选B。

20．函数 （ ）图象的对称轴方程为 ，求 的值．

解：解法一：由于函数图象关于 对称，则 ，即

　　 ，解得 ， 或 　又 ， 

　　解法二： 函数 的图象关于直线 对称，则函数 的图象关于 轴对称，则它为偶函数，即 

　　 　 ，

21 已知f(x)= ［3－(x－1)2］，求f(x)的值域及单调区间.

分析：分清内层与外层函数.

解：令u(x)=－(x－1)2+3≤3，则f(x)≥ 3=－1，∴f(x)值域为［－1，+∞).

f(x)的定义域u(x)＞0，即－(x－1)2+3＞0，x∈(1－ ，1+ ).u(x)在(1－ ，1］上递增，在(1，1+ )上递减.

∵0＜ ＜1，∴f(x)在(1－ ，1］上递减，在(1，1+ )上递增.

22已知y=log0.5(x2－ax－a)在区间(－∞，－ )上是增函数，求实数a的取值范围.

解：函数y=log0.5(x2－ax－a)由y=log0.5t与t=x2－ax－a复合而成，其中y=log0.5t为减函数，又y=log0.5(x2－ax－a)在(－∞，－ )上是增函数，故t=x2－ax－a在区间(－∞，－ )上是减函数.从而 a∈［－1， ］.

23.已知函数f(x)=loga(ax2－x)， 是否存在实数a，使它在区间［2，4］上是增函数?如果存在，说明a可取哪些值;如果不存在，说明理由. 

解：设g(x)=ax2－x. 当a＞1时，为使函数y=f(x)=loga(ax2－x)在x∈［2，4］上为增函数，只需g(x)

=ax2－x在［2，4］上为增函数，故应满足 得a＞ .∴a＞1. 

当0＜a＜1时，为使函数y=f(x)=loga(ax2－x)在x∈［2，4］上为增函数，只需g(x)=ax2－x在x∈［2，4］上为减函数， 

故 无解.∴a不存在. ∴当a＞1时，f(x)=loga(ax2－x)在x∈［2，4］上为增函数.

对数函数的图象变换及在实际中的应用

对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质。为研究它的数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。

一．利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质

（一）图象的平移变换

例1．画出函数与的图像，并指出两个图像之间的关系？

解：函数的图象如果向右平移2个单位就得到的图像；如果向左平移2个单位就得到的图像，所以把的图象向右平移4个单位得到的图象

注：图象的平移变换：1.水平平移：函数，的图像，可由的图像向左（+）或向右平移个单位而得到.

2.竖直平移：函数，的图像，可由的图像向上（+）或向下平移个单位而得到.

（二）图像的对称变换

例2．画出函数的图像，并根据图像指出它的单调区间.

解：当时，函数满足，所以是偶函数，它的图象关于轴对称。当时，。因此先画出，（）的图象为，再作出关于轴对称，与构成函数的图像，如图：

由图象可以知道函数的单调减区间是，单调增区间是

例3．画出函数与的图像，并指出两个图像之间的关系？

解：图象如图：把函数的图象作关于轴对称得到的图像

注：图象的对称变换：①与关于轴对称

②与关于轴对称

③与关于原点轴对称

④与关于直线轴对称

⑤的图像可将，的部分作出，再利用偶函数的图像关于轴对称，作出的图像.

二．利用对数函数的图象解决有关问题

（一）利用图像求参数的值

例4．已知函数的图像如图所示，求函数与的值. 

解：由图象可知，函数的图象过点与点，所以得方程与，解出，。

（二）利用图像比较实数的大小

例5．已知，，试确定实数和的大小关系.

解：在同一直角坐标系中作出函数与的图象，再作的直线，可得。

注：不同底的对数函数图象的规律是：①底都大于1时，底大图低（即在的部分底越大图象就越接近轴）②底都小于1时，底大图高（即在的部分底越大图象就越远离轴）

（三）利用图像解有关的不等式

例6．解关于的不等式

解：在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：两图象交点的横坐标为2，所以原不等式的解集为

（四）利用图像判断方程根的个数

例7．已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数。

解：因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知：①当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；

②当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；

③当时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。

能准确地作出对数函数的图象，利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质。运用数形结合的数学思想，来研究对数函数的有关问题。