2016年高考数学全国二卷(理科)

理科数学

注意事项：

    1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.

    2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

    3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 

    4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是

（A）  （B）  （C）  （D）

（2）已知集合，，则

（A）    （B）

（C）  （D）

（3）已知向量，且，则m=

（A）  （B）  （C）6  （D）8

（4）圆的圆心到直线 的距离为1，则a=

（A）     （B）   （C）  （D）2

（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A）24  （B）18  （C）12  （D）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π  （B）24π  （C）28π  （D）32π

（7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为

（A）  （B）

（C）  （D）

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的a为2，2，5，则输出的

（A）7  （B）12  （C）17  （D）34

（9）若，则=

（A）  （B）  （C）  （D）

（10）从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为

（A）       （B）     （C）  （D）

（11）已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，sin ,则E的离心率为

（A）      （B）   （C）     （D）2

（12）已知函数满足，若函数与图像的交点

为，，⋯，，则

（A）0   （B）m   （C）2m    （D）4m

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．

（13）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，

则       ．

（14），是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：

①如果，，，那么．

②如果，，那么．

③如果，，那么．

④如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等．

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是       

（16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，      ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．

（Ⅰ）求，，；

（Ⅱ）求数列的前项和．

（18）（本小题满分12分）

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

（19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，，点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置.

（）证明：平面ABCD；

（）求二面角的正弦值.

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（）当，时，求△AMN的面积；

（）当时，求k的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

(I)讨论函数的单调性，并证明当时， 

(II)证明：当 时，函数 有最小值.设的最小值为，求函数的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.

(I) 证明：B，C，G，F四点共圆；

(II)若，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xOy中，圆C的方程为．

（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（II）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率．

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数，M为不等式的解集.

（I）求M；

（II）证明：当a，时，．

参：

1、解析：∴m+3>0，m–1<0，∴–32、解析：B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}={x|–13、解析： 向量a+b=(4,m–2)，∵(a+b)⊥b，∴(a+b)·b=10–2(m–2)=0，解得m=8，故选D．

4、解析：圆x2+y2–2x–8y+13=0化为标准方程为：(x–1)2+(y–4)2=4，故圆心为(1,4)，d==1，解得a=–，故选A．

5、解析一：E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B．

解析二：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C条路，再从F处到G处最短共有C条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C·C=1，故选B。

6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h．

由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：l==4，S表=πr2+ch+cl=4π+16π+8π=28π，故选C．

7、解析：由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位得y=2sin2(x+)=2sin(2x+)，则平移后函数的对称轴为2x+=+kπ，k∈Z，即x=+，k∈Z，故选B。

8、解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C．

9、解析：∵cos(–α)=，sin2α=cos(–2α)=2cos2(–α)–1=，故选D．

解法二：对cos(–α)=展开后直接平方

解法三：换元法

10、解析：由题意得：(xi,yi)(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中

由几何概型概率计算公式知=，∴π=，故选C．

11、解析： 离心率e=，由正弦定理得e====．故选A．

12、解析：由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y==1+也关于(0,1)对称，

∴对于每一组对称点xi+x'i=0，yi+y'i=2，

∴，故选B．

13、解析：∵cosA=，cosC=，sinA=，sinC=，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=，

由正弦定理：=，解得b=．

14、解析：对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为，所以过直线n作平面γ与平面β相交于直线c，则n∥c，因为m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.

15、解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足；若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)不满足；故甲(1,3)，

16、解析：y=lnx+2的切线为：y=·x+lnx1+1(设切点横坐标为x1)

y=ln(x+1)的切线为：y=·x+ln(x2+1)–，∴

解得x1=，x2=–。∴b=lnx1+1=1–ln2．

17、解析：(1)设{an}的公差为d，S7=7a4=28，∴a4=4，∴d==1，∴an=a1+(n–1)d=n．

∴b1=[lga1]=[lg1]=0，b11=[lga11]=[lg11]=1，b101=[lga101]=[lg101]=2．

(2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1000=b1+b2+...+b1000=[lga1]+[lga2]+...+[lga1000]．

当0≤lgan<1时，n=1，2，...，9；当1≤lgan<2时，n=10，11，...，99；当2≤lgan<3时，n=100，101，...，999；

当lgan=3时，n=1000．∴T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=13．

18、(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，P(A)=1–P()=1–(0.30+0.15)=0.55．

(2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，P(B|A)===．

⑶解：设本年度所交保费为随机变量X．

∴平均保费与基本保费比值为1.23．

19、解析：(1)证明：如下左1图，∵AE=CF=，∴=，∴EF∥AC．

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥DH，∴EF⊥D'H．

∵AC=6，∴AD=3；又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=·OD=1，∴DH=D'H=3，∴|OD'|2=|OH|2+|D'H|2，∴D'H⊥OH．

又∵OH∩EF=H，∴D'H⊥面ABCD．

(2)方法一、几何法：若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE=，AD=AB=5，∴DE=5–=，

∵EF∥AC，∴====，∴EH=，EF=2EH=，DH=3，OH=4–3=1，

∵HD’=DH=3，OD’=2，∴满足HD’2=OD’2+OH2，则△OHD’为直角三角形，且OD’⊥OH，

即OD’⊥底面ABCD，即OD’是五棱锥D’–ABCFE的高．

底面五边形的面积S=×AC·OB+=×6×4+=12+=，

则五棱锥D’–ABCFE体积V=S·OD’=××2=．

方法二、向量法。建立如下左2图坐标系H–xyz．B(5,0,0)，C(1,3,0)，D'(0,0,3)，A(1,–3,0)，

∴向量AB=(4,3,0)，AD'=(–1,3,3)，AC=(0,6,0)，

设面ABD'法向量n1=(x,y,z)，由得，取，∴n1=(3,–4,5)．

同理可得面AD'C的法向量n2=(3,0,1)，

∴|cosθ|===，∴sinθ=。

20、解析：(1)当t=4时，椭圆E的方程为+=1，A点坐标为(–2,0)，则直线AM的方程为y=k(x+2)．

联立椭圆E和直线AM方程并整理得，(3+4k2)x2+16k2x+16k2–12=0。

解得x=–2或x=–，则|AM|=|–+2|=·。

∵AM⊥AN，∴|AN|=·=·。

∵|AM|=|AN|，k>0，∴·=·，整理得(k–1)(4k2–k–4)=0，

4k2–k+4=0无实根，∴k=1．

所以△AMN的面积为|AM|2=(·)2=．

(2)直线AM的方程为y=k(x+)，

联立椭圆E和直线AM方程并整理得，(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2–3t=0。解得x=–或x=–，

∴|AM|=|–+|=·，∴|AN|=·

∵2|AM|=|AN|，∴2··=·，整理得，t=．

∵椭圆E的焦点在x轴，∴t>3，即>3，整理得<0，解得21、解析：(1)证明：f(x)=ex，∴f'(x)=ex(+)=。

∵当x∈(–∞,–2)∪(–2,+∞)时，f'(x)>0，∴f(x)在(–∞,–2)和(–2,+∞)上单调递增。

∴x>0时，ex>f(0)=–1，∴(x–2)ex+x+2>0。

(2)g'(x)===，a∈[0,1)。 

由(1)知，当x>0时，f(x)=ex的值域为(–1,+∞)，只有一解．使得·et=–a，t∈(0,2]。 

当x∈(0,t)时g'(x)<0，g(x)单调减；当x∈(t,+∞)时g'(x)>0，g(x)单调增

h(a)===。

记k(t)=，在t∈(0,2]时，k'(t)=>0，∴k(t)单调递增，∴h(a)=k(t)∈(,]．

22、解析：(1)证明：∵DF⊥CE，∴Rt△DEF∽Rt△CED，∴∠GDF=∠DEF=∠BCF，=。

∵DE=DG，CD=BC，∴=。∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG。

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°．∴B，C，G，F四点共圆．

(2)∵E为AD中点，AB=1，

∴DG=CG=DE=，∴在Rt△GFC中，GF=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=．

23、解：(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0，

由ρ2=x2+y2、ρcosθ=x、ρsinθ=y可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0．

(2)记直线的斜率为k，则直线的方程为kx–y=0，

由垂径定理及点到直线距离公式知：=，即=，整理得k2=，则k=±．

24、解析：(1)当x<–时，f(x)=–x–x–=–2x，若–1时，f(x)=2x，若f(x)<2，(2)当a，b∈(–1,1)时，有(a2–1)(b2–1)>0，即a2b2+1>a2+b2，则a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2，则(ab+1)2>(a+b)2，即|a+b|<|ab+1|，

证毕．