数值分析试卷及其答案8

一、设，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数至少取几位有效数字？（4分）

解：设有位有效数字。

因为，所以可得的第一位有效数字为8（1分）

又因为，令，可知至少具有3位有效数字（3分）。

二、求矩阵的条件数（4分）。

      其中 

解：  （1分）

     =7（1分）

     （1分）

（1分）

三、用列主元Gauss消元法法求解以下方程组（6分）

解： 

(4分)

等价三角方程组为：（1分）

回代得（1分）

四、设

1）求以为节点的3次Lagrange多项式；（6分）

2）求以为节点的3次Newton多项式；（6分）

3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）

解：由可得

即得：

2）计算差商表如下：

       一阶差商  二阶差商  三阶差商

1    -11

3    -1    5

-2    34    -7    4

0    -10    -22    5    -1

则

3）

五、给定方程组，其中。

试确定的取值范围，使求解该方程组的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法均收敛。（10分）

解：1）Jacobi迭代格式的特征方程为

求得

于是当且仅当时，Jacobi迭代法收敛（5分）

2）Gauss-Seidel迭代格式的特征方程为: 

求得，于是得。

故当时，求解该方程组的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法均收敛。

六、设， 

求上述求积公式的代数精度，并利用求积公式给出计算的一个复化求积公式。（12分）

 解：1） 当时，左边==右边

    当时，左边==右边

    当时，左边==右边

    当时，左边==右边

    当时，左边=右边

因此，所给求积公式具有3次代数精度。（6分）

  2）将作等分，记

（2分）

而

由此可得复化公式

= (4分)

七、求在上的一次最佳平方逼近多项式。（8分）

解：令所要求的多项式为：，即取，计算

          (4分)

得法方程组：

解方程组得，于是得一次最佳平方逼近多项式为

（4分）

八、写出方程的Newton迭代格式，并迭代一次求近似解（6分）

　　(1) 在附近的根。

　(2) 在附近的根。

解：（1）

取，则   （3分）

（2）

则，

取，则  （3分）

九、已知三点Gauss公式（10分）

     ，用该公式估算的值。

解：令，于是有：，于是

，于是（5分）

令，就得：

（5分）

十、龙格库塔（10分）

取步长，写出用经典四阶Runge-Kutta方法求解初值问题

的计算公式。

解：     （1分）

（6分）

取，其经典四阶Runge-Kutta计算公式为：

（3分）

十一、用乘幂法计算矩阵按模最大特征值和相应的特征向量。取，迭代两步即可。（7分）

其中

解：    （3分）

相应特征向量取（4分）

十二、设为个互异的节点，为这组节点上的次Lagrange插值基函数，证明：（8分）。

证明：对于，令，则的次Lagrange插值多项式为（2分）

相应的余项为（2分）

由于，所以，即（2分）

从而得出

即得证（2分）