中考数学专题复习：解直角三角形

一．选择题（共7小题）

1．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cosC＝，AB＝6，AC＝6，则BC的长为（    ）

A．12    B．12    C．9    D．9

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinA＝，则BC的长为（    ）

A．2    B．3    C．    D．2

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝m，那么边AC的长为（    ）

A．m•sinα    B．m•cosα    C．m•tanα    D．m•cotα

5．在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为a，若cosa＝，则这条射线是（    ）

A．OA    B．OB    C．OC    D．OD

6．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AB＝c，∠A＝α，则CD长为（    ）

A．c•sin2α    B．c•cos2α    

C．c•sinα•tanα    D．c•sinα•cosα

7．如图，在△ABC中，sinB＝，cosC＝，AC＝5，则△ABC的面积为（    ）

A．13    B．14    C．21    D．10.5

二．填空题（共7小题）

8．如图，点P是∠α的边OA上的一点，点P的坐标为（12，5），则tanα＝________．

9．已知：在△ABC中，AC＝a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC＝），则AC边上的中线长是________．

10．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA：CB＝5：7，则∠CAD的余弦值为________．

11．如图，在四边形ABCD中，tan∠ABC＝，BD为对角线，∠ABD+∠BDC＝90°，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，若AE＝DE，EC＝DC＝5，则△ABC的面积为________．

12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC＝8cm，cos∠CBD＝，则边AB＝________cm．

13．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5，则tan∠ACD＝________．

14．如图，四边形OABC中，OA在x轴的正半轴上，∠C＝∠OAB＝90°，AB＝3，BC＝5，cos∠AOC＝，则点C的坐标是________．

三．解答题（共14小题）

15．在△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，c＝10，解这个直角三角形．

16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，求sinB及△ABC的面积．

17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝0.6，求cosA、tanB的值．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝6，CD＝3，∠ADC＝α．

（1）试写出α的正弦、余弦、正切这三个函数值；

（2）若∠B与∠ADC互余，求BD及AB的长．

19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A．∠B．∠C的对边分别为a，b，c．根据下列条件解三角形：

（1）∠A＝60°，c＝12

（2）a＝8，c＝8．

20．在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，根据下列条件，解直角三角形

（1）a＝35，c＝35；

（2）∠A＝60°，b＝4；

（3）∠B＝60°，a+b＝6．

21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝8，解直角△ABC．

22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝3，BD＝6，求∠ACD的各个三角函数值．

23．如图，在正方形网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的各个顶点都在正方形的顶点上，计算sinA，cosA，tanA与sinB，cosB，tanB的值．

24．在△ABC中，如图所示，∠B＝90°，AC＝5，BC＝5，解这个直角三角形．

25．等腰△ABC中，AB＝AC，如果一条腰长为5，一条中线为3，求底角的正弦值．

26．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a+c＝12，∠B＝60°，解这个直角三角形．

27．在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，已知a＝2，b＝6，∠A＝30°，求∠ACB、∠ABC、和c．

28．如图，在矩形ABCD中，两对角线相交于点O，AO＝4cm，AB＝6cm，求sin∠CAB和sin∠CBD的值．

参

1．解：法一、如图，

在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，

∴AB＝＝＝3，

∴cos∠ABC＝＝＝．故选：B．

法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，

∴∠ABD＝∠BAD＝45°，

∴cos∠ABC＝cos45°＝．故选：B．

2．解：在Rt△ADC中，CD＝cosC×AC＝AC＝＝3，

∴AD＝＝＝3，

在Rt△ADB中，BD＝＝＝9，

∴BC＝CD+BD＝3+9＝12，

故B、C、D错误，

故选：A．

3．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinA＝，

则sinA＝＝，即＝，

解得，BC＝2，

故选：A．

4．解：∠C＝90°，∠B＝α，AB＝m，

则sinα＝，

∴AC＝AB•sinα＝m•sinα．

故选：A．

5．解：∵点A的坐标为（3，4），

∴OA＝5，

∴cosa＝，

则这条射线是OA．

故选：A．

6．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，∠A＝α，

sinα＝，BC＝c•sinα，

∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，

∴∠DCB＝∠A＝α，

在Rt△DCB中，∠CDB＝90°，

cos∠DCB＝，

CD＝BC•cosα＝c•sinα•cosα，

故选：D．

7．解：作AD⊥BC，

∵cosC＝，AC＝5，

∴CD＝4，

∴AD＝＝3，

∵sinB＝，

∴∠B＝45°，

∴BD＝AD＝3，

∴S△ABC＝BC•AD＝（3+4）×3＝10.5．

故选：D．

8．解：作PB⊥x轴于点B，

则PB＝5，OB＝12，

在Rt△POB中，tanα＝＝，

故答案为：．

9．解：AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为，

∴cosC＝，

∴∠C＝45°，

又∵AB与BC所在直线成45°角，

∴∠B＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．

∴AC＝BC＝a，

∴AB＝，

根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，

∴AC＝．

10．解：如图作AH⊥BC于H，设AC═CD＝5k，BC＝7k，

∵∠B＝45°，∠AHB＝90°，

∴AH＝BH，设AH＝BH＝x，

在Rt△ACH中，

∵AH2+HC2＝AC2，

∴x2+（7k﹣x）2＝（5k）2，

解得x＝3k或4k（舍弃与钝角三角形矛盾），

当x＝3k时，

∴BH＝AH＝3k，DH＝k，

∴AD＝k，

∴cos∠CAD＝cos∠ADH＝＝＝．

故答案为．

11．解：如图，延长CE交AB于点H，延长DC、AE相交于点K，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB＝∠AED＝90°，

∵∠ABD+∠BDC＝90°，

设∠ABD＝α，则∠BDC＝90°﹣α，

∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣α，

∵EC＝DC，

∴∠CED＝∠CDE＝90°﹣α，

∵∠AEH+∠DEC＝180°﹣∠AED＝90°，

∴∠AEH＝α，

∴∠BHE＝90°，

∵∠K+∠KDE＝90°，∠CDE+∠CEK＝90°，

∴∠K+∠CEK＝α，

∴sinK＝sin∠ABD，即，

∴，

解得，

∵，

∴设CH＝7a，BH＝6a，

∴HE＝HC﹣CE＝7a﹣5，AH＝AB﹣BH＝，

∵∠AEH＝∠EBH＝tan∠ABE，

∴tan∠AEH＝tan∠ABE，

即EH2＝AH•BH，

解得a＝1（舍去），

∴CH＝7a＝7，

∴．

故答案为：．

12．解：∵∠C＝90°，∠A＝∠CBD，cos∠CBD＝，

∴cos∠A＝＝，

∵AC＝8cm，

∴AB＝10cm．

故答案为：10．

13．解：如图，过D作DE⊥AC于点E．

则DE∥BC．

∵CD是AB边上的中线，

∴DE是△ABC的中位线．

∴DE＝BC＝×8＝4．

在直角△DEC中，EC＝＝＝3，

∴tan∠ACD＝＝，

故答案是：．

14．解：过C作CD⊥OA于D，过B作BE⊥CD于E，如图所示：

则∠ADE＝∠ODC＝∠DEB＝∠CEB＝90°＝∠OAB，

∴四边形ABED是矩形，

∴AD＝BE，DE＝AB＝3，

∴BE＝＝＝4，

∵∠BCE+∠OCD＝∠AOC+∠OCD＝90°，

∴∠BCE＝∠AOC，

∴cos∠BCE＝＝cos∠AOC＝，

∴CE＝BC＝×5＝3，

∴CD＝CE+DE＝3+3＝6，

∵∠AOC＝∠BCE，∠ODC＝∠BEC＝90°，

∴△OCD∽△CBE，

∴＝，

即＝，

解得：OD＝，

∴点C的坐标为（，6），

故答案为：（，6）．

15．

解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∵3a＝b

∴

根据勾股定理知：c2＝a2+b2得

102＝

解得b＝5

∴a＝5

∴∠A＝30°

∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°

16．解：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3

∴由sinA＝得

根据勾股定理，AC2＝AB2﹣BC2

解得AC＝

∴

∴△ABC的面积为：

17．解：AB＝＝＝10，

∵∠C＝90°，

∴AC＝＝＝8，

cosA＝＝＝0.8，

tanB＝＝＝．

18．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝6，CD＝3，∠ADC＝α，

∴＝，

∴，，；

（2）∵∠B与∠ADC互余，AC＝6，∠ADC＝α，cosα＝，

∴，

解得AB＝，

∴＝12，

∴BD＝BC﹣CD＝12﹣3＝9，

即BD＝9，AB＝6．

19．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，

∴b＝c＝6，

∵tanA＝，

∴a＝6•tan60°＝6；（2）sinA＝＝，

∴∠A＝45°，∠B＝90°﹣∠A＝45°，

b＝a＝8．

20．解：（1）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，a＝35，c＝35，

∴b＝，sinA＝，

∴∠A＝45°，

∴∠B＝∠C﹣∠A＝90°﹣45°＝45°，

即∠A＝45°，∠B＝45°，b＝35；

（2）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠A＝60°，b＝4，tanA＝，

∴，∠B＝90°﹣60°＝30°，

∴a＝4，

∴c＝，

即∠B＝30°，a＝4，c＝8；

（3）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠B＝60°，a+b＝6，tanB＝，

∴∠A＝30°，，

解得，a＝3﹣3，b＝9﹣3，

∴c＝2a＝6，

即∠A＝30°，a＝3﹣3，b＝9﹣3，c＝6．

21．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BDC＝45°，DC＝8，

∴∠DBC＝∠BDC＝45°，

∴BC＝CD＝8，

∵sinA＝，sinA＝，BC＝8，

∴AB＝20，∠A≈24°，

∴AC＝＝4，∠B≈66°，

即在△ABC中，∠A≈24°，∠B≈66°，AB＝20，BC＝8，CA＝．

22．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝3，BD＝6，

∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠B＝90°，

∴∠ACD＝∠B

∵∠CDB＝90°，CD＝3，BD＝6，

∴＝，

∴，，，

∴，，

即∠ACD的各个三角函数值分别是：，．

23．解：∵在正方形网格中每个小正方形的边长均为1，

∴AC＝，BC＝，AB＝，

∴＝4×3﹣，

解得，CD＝1，

∴AD＝＝2，BD＝＝3，

∴sinA＝＝＝，cosA＝＝，tanA＝，

sinB＝，cosB＝，tanB＝，

即sinA＝，，，．

24．解：∵在△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝5，

∴AB＝＝．

∵sinA＝，BC＝5，AC＝5，

∴sinA＝．

∴∠A＝45°．

∴∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣45°＝45°．

即：AB＝5，∠A＝45°，∠C＝45°．

25．解：根据题题可知，分两种情况：

第一种情况：当这条中线为底边中线时，如图1所示，

∵等腰△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC＝5，AD＝3，

∴sinC＝．

即底角的正弦值是；

方法一：第二种情况：当这条中线为腰上的中线时，如图2所示，

BD是△ABC的中线，

作AE⊥BA于点E，作DF⊥BC于点F，

∵AB＝AC＝5，

∴AE是△ABC的中线，

∵BD＝3，OE⊥BC，DF⊥BC，

∴△BOE∽△BOD，

∴＝，

设BC＝2x，则BE＝x，EF＝x，

∵AB＝5，AE⊥BC，BE＝x，

∴AE＝＝，

∴OE＝AE＝，

∵BO＝BD＝2，

∴OE＝＝，

∴＝，

解得x＝，

∴DF＝＝×＝

∴sinC＝＝＝；

方法二：等腰△ABC中，AB＝AC，腰长为5，腰上的中线为3，

cos∠BAC＝，

cos∠BAC＝．

解得BC＝．

∴底边上的高为：＝．

∴底角的正弦值＝．

即底角的正弦值是．

26．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a+c＝12，∠B＝60°，

∴∠A＝30°．

∴c＝2a．

∴a＝4，c＝8．

∴b＝．

即：a＝4，b＝，c＝8，∠A＝30°．

27．解：∵在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，已知a＝2，b＝6，∠A＝30°，

∴，tan30°＝＝tanA，

∴此三角形为直角三角形，∠ACB＝90°．

∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°．

∴c＝＝．

即∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，c＝4．

28．解：∵在矩形ABCD中，两对角线相交于点O，AO＝4cm，AB＝6cm，

∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°，AC＝BD＝2AO＝8cm，AB＝CD＝6cm．

∴．

∴sin∠CAB＝，sin∠CBD＝．