历年江苏数学高考试卷

数学

1. 的最小正周期为，其中，则      ▲       。

【解析】本小题考查三角函数的周期公式。。

答案10

2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为          ▲        。

【解析】本小题考查古典概型。基本事件共个，点数和为4的有、、共3个，故。

答案

3.表示为，则=       ▲      。

【解析】本小题考查复数的除法运算， ，因此=1。

答案1

4. 则的元素个数为     ▲       。

【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由得

因为，所以，因此，元素的个数为0。

答案0

5.的夹角为，，则        ▲          。

【解析】本小题考查向量的线形运算。

因为 ，所以=49。

因此7。

答案7

6.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为             ▲       。

【解析】本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此。

 答案 

7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

序号

【解析】本小题考查统计与算法知识。

答案6.42

8.直线是曲线的一条切线，则实数     ▲         。

【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以。

答案

9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：            ▲               。

【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想。

事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。

答案。

10.将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为       ▲          。

【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前行共用了 个数，因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第个，即为。

答案

11.的最小值为     ▲           。

【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。

答案3。

12.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=    　▲　　     。

【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线互相垂直，又，所以是等腰直角三角形，故，解得。   

答案

13.若，则的最大值       ▲         。

【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。

因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为轴，其中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由可得，化简得，即C在以（3，0）为圆心，为半径的圆上运动。又。

答案

14.对于总有成立，则=      　▲         。

【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。

要使恒成立，只要在上恒成立。

    当时，，所以，不符合题意，舍去。

当时，即单调递减，，舍去。

当时

1若时在和 上单调递增，

在上单调递减。

所以

2当时在上单调递减，

，不符合题意，舍去。综上可知a=4.

答案4。

15.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为。

（1）求的值；   （2） 求的值。

【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得， 为锐角，

故。同理可得，

因此。

（1）。

（2），

，从而。

16．在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点，

求证（I）直线；

    （II）。

证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点

。

（II）又，

所以

17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km, ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。

（I）按下列要求写出函数关系式：

1设，将表示成的函数关系式；

2设，将表示成的函数关系式。

（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

【解析】本小题考查函数最值的应用。

（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，，则

故，又，所以

。

②，则，所以，

所以所求的函数关系式为。

（II）选择函数模型①。

。

令得，又，所以。

当时，，是的减函数；时，，是的增函数。

所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。

18.设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。

（1）求实数的取值范围；

（2）求圆的方程；

（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论。

【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。

（1）

（2）设所求圆的方程为。

令得

又时，从而。

所以圆的方程为。

（3）整理为，过曲线

与的交点，即过定点与。

19.（I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

1当时，求的数值；②求的所有可能值；

（II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。

【解析】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。

（I）①当时， 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则。

若删去，则有，即，化简得；

若删去，则有，即，化简得。

综上可知。

2当时， 中同样不可能删去首项或末项。

若删去，则有，即，化简得；

若删去，则有，即，化简得，舍去；

若删去，则有，即，化简得。

当时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项和末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去，也有，这与矛盾；若删去中的任意一个，则必有，这与矛盾。综上可知。

（3）略

20.若为常数，且

(I)求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；

(II)设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。

【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。

（I）恒成立

若，则，显然成立；若，记

当时，，

所以，故只需；

当时，，

所以，故只需。

（II）如果，则的图象关于直线对称，

因为，所以区间关于直线对称。

因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为。

如果，结论的直观性很强。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）（数学）

1、填空题

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲________

2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________

3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。

5、设函数f(x)=x(ex+ae-x),x∈R，是偶函数，则实数a=_______▲_________

6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______ 

7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______

8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+bk为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____

9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____ 

10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____

11、已知函数,则满足不等式的x的范围是____▲____

12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是_____▲____

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则__▲

14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_______▲_______

2、解答题

15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长

(2)设实数t满足()·=0，求t的值

16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900

(1)求证：PC⊥BC

(2)求点A到平面PBC的距离

17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值

(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大

18.（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，，其中m>0,

①设动点P满足,求点P的轨迹

②设，求点T的坐标

③设,求证：直线MN必过x轴上的一定点

（其坐标与m无关）

19．（16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.

①求数列的通项公式（用表示）

②设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为

20.（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.

(1)设函数，其中为实数

①求证：函数具有性质

②求函数的单调区间

(2)已知函数具有性质，给定，，且，若||<||,求的取值范围

                             【理科附加题】

21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）

(1)几何证明选讲

AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC

(2)矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值

(3)参数方程与极坐标

在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值

(4)不等式证明选讲

已知实数a,b≥0，求证：

22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互

（1）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数

（1）求证cosA是有理数

（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

参考公式：

样本数据的方差

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.

1.若复数，其中是虚数单位，则复数的实部为★.

【答案】

【解析】略

2.已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积   ★   .

【答案】3

【解析】。

3.函数的单调减区间为   ★   .

【答案】

【解析】，由得单调减区间为。

4.函数为常数，在闭区间上的图象如图所示，则   ★   .

【答案】3

【解析】，，所以， 

5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为   ★   .

【答案】0.2

【解析】略

6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

【答案】             

【解析】略

7.右图是一个算法的流程图，最后输出的  ★  .

【答案】22

【解析】略

8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为  ★  .

【答案】1：8

【解析】略

9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为  ★   .

【答案】          

【解析】略

10.已知，函数，若实数满足，则的大小关系为 ★   .

【答案】

【解析】略

11.已知集合，，若则实数的取值范围是，其中★   .

【答案】4

【解析】由得，；由知，所以4。

12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；

（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；

（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；

（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.

上面命题中，真命题的序号      ★       （写出所有真命题的序号）.

【答案】（1）（2）            

【解析】略

13．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为     ★     .

【答案】

【解析】用表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.

14．设是公比为的等比数列，，令若数列有连续四项在集合中，则   ★   .

【答案】

【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15．（本小题满分14分）            

设向量

（1）若与垂直，求的值；

（2）求的最大值;

（3）若，求证：∥.

【解析】由与垂直，，

即，；

，最大值为32，所以的最大值为。

由得，即，

所以∥.            

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，

求证：（1）∥

（2）

【解析】证明：（1）因为分别是的中点，所以，又，，所以∥；

（2）因为直三棱柱，所以，，又，所以，又，所以。

17．（本小题满分14分）          

设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项. 

（1）设公差为，则，由性质得，因为，所【解析】以，即，又由得，解得，

所以的通项公式为，前项和。

（2），令，，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m              

因为是奇数，所以可取的值为，当，时，，，是数列中的项；，时，，数列中的最小项是，不符合。

所以满足条件的正整数。

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系中，已知圆和圆

（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

【解析】(1) 或，

(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为或。            

19.(本小题满分16分)

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.

 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为

求和关于、的表达式；当时，求证：=；

设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

求和关于、的表达式；当时，求证：=；

设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

【解析】(1)

  当时，

显然              

(2)当时，

由，故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为            

20．(本小题满分16分)

设为实数，函数.

若，求的取值范围；

求的最小值；

设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.

【解析】（1）若，则

（2）当时，

    当时，

    综上

(3) 时，得，

当时，；

当时，得

1）时，

2）时，         

3）时，