立体几何定理集锦

1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交的两条直线叫异面直线。

2.画法：借助辅助平面。

1.定义：对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线和，我们把和所成的锐角或者叫做异面直线a和b所成的角。

2.范围：(0°，90°】

(★空间两条直线所成角范围：【0°，90°】)

（3）线面角

1.定义：当直线l与平面α相交且不垂直时，叫做直线l与平面α斜交，直线l叫做平面α的斜线。设直线l与平面α斜交与点M，过l上任意点A，做平面α的垂线，垂足为O，把点O叫做点A在平面α上的射影，直线OM叫做直线l在平面α上的射影。

1.定义：把直线l与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l和平面α所成的角。

2.范围【0°，90°】

（★斜线与平面所成角范围：【0°，90°】）

（三）二面角

1.定义：

（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

（3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

（4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

2.表示：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q

3.范围为【0°，180°】

（5）六种距离

1.点到点的距离：两点之间的线段PQ的长。

2.点到线的距离：过P点作，交于，线段的长。

3.点到面的距离：过P点作，交于，线段的长。

                 两条平行线的距离

4.线到线的距离：

                 异面直线的距离：公垂线段PQ， PQ，则                                                                                                                                                                     线段PQ的长。

（★两条异面直线有且只有一条公垂线。）

5.线到面的距离（//）：过上一点P作，交于，线段的长。

面到面的距离（α//β)：过上一点P作，交于，线段的长。

二．证明（位置关系）

（一）点与直线

            外（）

点在直线

            上（）                                            

“上”的判定：

（1）借助法：公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线 。

{}

（2）点与平面

            外（）

点在平面

            上（）

“上”的判定：

（1）借助法：（线在面上点在面上）

     {}

（2）借助法：（同一平面内点在面上）

（3）直线与平面

              上（）：                     斜交

直线在平面                  相交（）

              外（）                      垂直（）

                                     平行（）

“上”的判定：

（1）定义法：直线与平面有无数个公共点。

（2）判定法：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。（）

（3）其它法：公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线 。

{}

（4）其它法：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。

{}

“垂直”的判定：

（1）定义法：如果一条直线和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面 互相垂直.

（2）判定法：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线线垂直线面垂直）

{}

（3）推理法：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直线面垂直）

{}

（4）借助法：两条平行直线，若其中一条垂直于一个平面，则另一条必定也垂直于这个平面。

{}

（5）借助法：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

{}

“平行”的判定：

（1）定义法：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

（2）判定法：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线线平行线面平行）

{}

（3）推理法：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。（面面平行线面平行）

{}

（4）借助法：两条平行直线，若其中一条平行于一个平面，则另一条必定也平行于这个平面。

{}

（四）点与点

1.不重合

2.重合（符合某一共同特征，适合用“同一法”）

（5）直线与直线

                     不垂直

             异面

                     垂直（异面直线）

直线与直线                   不垂直

                     相交

             共面            垂直（）

                     平行（）

“异面垂直”的判定：

（1）定义法：如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直。

（2）其它法：三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

{}

“共面垂直”的判定：

（1）定义法：如果两条直线所成的角是直角，那么这两条直线互相垂直。

（2）推理法：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线。（线面垂直线线垂直）

{}

（2）借助法：两条平行线，若一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线。

{}

（3）其它法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。

{}

“平行”的判定：

（1）定义法：如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行。

（2）推理法：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行线线平行）

{}

（3）推理法：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行线线平行）

{}

（4）借助法：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行

{}

（5）借助法：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

{}

（6）平面与平面

              平行（）

平面与平面            不垂直

              相交

                      垂直（）

“平行”的判定：

（1）定义法：两个平面没有公共点，称两个平面平行。

（2）判定法：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（线面平行面面平行）

{}

（3）借助法：垂直于同一条直线的两个平面平行。

{}

“垂直”的判定：

（1）定义法：若两个平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面垂直。

（2）判定法：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直面面垂直）

{}

（七）其它

1.异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

{}

2.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

{}

3.确定平面

公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 

{}

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。 

{}

推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。

{}

推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。

{}

4.射影长定理：

5.最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角。

6.折叠角公式：

三．思想方法

1.降维：三维二维

2.有且只有：存在性and唯一性

3.直接证明/间接证明

4.换序（尤其证垂直时）

5.空间图形平面化。

6.反证法

7.同一法

四．心得体会

要把所有的已知条件标在图上，并根据这些挖掘隐藏条件。

5．一些结论

1.经过平面外一点，有无数条直线和已知平面平行。

2.经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

3.经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直。

4.经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直。

5.经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

6.经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行。

7.经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。

8.经过直线外一点，有无数个平面和已知直线垂直。

9.如果平面的一条斜线和这个平面内以斜足为顶点的角的两边成等角，那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在直线。10.

11

6．题型总结

1.

2.证明是公垂线：

（1）证明与两条异面直线都垂直

（2）证明与两条异面直线都相交

          钝角三角形    Cos最大角<0

3.证明是  锐角三角形    三个Cos都<0

          直角三角形    见平面几何

4.空间想象点线面的位置关系：

回想判定定理，每个点一一对照。

5.求角

No1.异面直线所成角：

（1）先平移，是两线在同一平面内，成为相交直线。

平移一条直线/两条直线一起平移，分为直接平移法、中点平移法、补形平移法。

（2）交待角，...即为所求角或其补角。

（3）求角，放于一个三角形中，用余弦定理。

No2.线面角（线面垂直应用）

（1）作出斜线与射影所成的角。

（2）论证所做（或找到的）角即为所求。

（3）求角，放于一个Rt三角形中，解Rt三角形。

  或用折叠角公式。

No3.二面角（线线垂直应用）

或利用平行的传递性：。

6.求距离（线线垂直、线面垂直应用）

点到平面线到平面面到平面

（1）找或作出距离

（2）构造三角形

（3）计算求值。