2018年考研数学三真题及解析

一、选择题

1.下列函数中,在处不可导的是()

答案:

解析:方法一:

可导

可导

可导

不存在,不可导

应选.

方法二:

因为

不存在

在处不可导,选

对在处可导

对在处可导

对在处可导.

2.设函数在[0,1]上二阶可导,且则

答案

【解析】

将函数在处展开可得

故当时,

选

3.设,则

A    B

C.   D.

答案:

解析:

,因为所以

即

所以由定积分的比较性质,应选.

4.设某产品的成本函数可导,其中为产量,若产量为时平均成本最小,则()

.  .

答案 

【解析】平均成本,由于在处取最小值,可知

5.下列矩阵中,与矩阵相似的为

答案:

解析:令则

选项为

6.设为阶矩阵,记为矩阵的秩,表示分块矩阵,则

答案:

解析:易知选项错

对于选项举反例:取1

则

7. 设随机变量的概率密度满足

，且，

则．

(A) 0.2；   (B) 0.3；    (C)  0.4；   (D)  0.6．

解  由知，概率密度关于对称，故

，

且，由于，所以，即，故选项A正确．

8. 设为取自于总体的简单随机样本，令

，，，

则下列选项正确的是． 

(A) ；            (B) ；

(C) ；            (D) ．

解  由于，，且与相互，由分布的定义，得

，

故选项B正确．

二、填空题

9.曲线在其拐点处的切线方程为__。

答案

【解析】函数的定义域为

令,解得,而故点(1,1)为曲线唯一的拐点。

曲线在该点处切线的斜率故切线方程为

10.

11.差分方程的通解______.

【答案】

12.函数满足且,则

答案 

【解析】

这是一个可分离变量微分方程,求得其通解为再由,可得。

故

13.设为3阶矩阵,为线性无关的向量组,若,可得

由于线性无关,故从而有相同的特征值。

因

故的实特征值为2。

14.设随机事件相互，且

，

则．

解  由条件概率以及事件相互性的定义，得

三、解答题

15.已知实数,满足

答案 

【解析】

可知

16.设平面区域由曲线与直线及轴围成。计算二重积分

答案 

【解析】

而

17.将长为2的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.

【解析】设分成的三段分别为则有圆的面积为

18.已知

答案 

【解析】

则 

19.设数列满足:证明收敛,并求

证明:①证明,易证

②再证单减,由

③设

20.设实二次型其中是参数.

(1)求的解;

(2)求的规范形.

解析:(1)而

由得

当时,只有零解

当时,方程有无穷多解,

通解为为任意常数.

(2)由(1)知,当时可逆,

令,即,则规范形为

当时,

令,则

令,则得规范形为

21.已知是常数,且矩阵可经初等变换化为矩阵

(1)求;

(2)求满足的可逆矩阵.

解析:(1)经过初等列变换化为

(2)令

当时,可逆,取可逆矩阵

22. 设随机变量与相互，的概率分布为

，

服从参数为的泊松分布．令，求（1）；（2）的概率分布．

解  （1）由题意，知

，，

则，且．于是，由协方差计算公式，得

（2）随机变量的取值为，则

同理，

其中，．

23 .总体的概率密度为

，（） 

其中为未知参数， 为取自于总体的简单随机样本．记的最大似然估计量为，求（1）；（2）．

解  （1）构造似然函数

方程两边取自然对数，得

，

求上述方程的驻点，得

，

即最大似然估计量为．

（2）由期望的公式，得

同理，

由方差的公式，得，则

，

．