初三数学解直角三角形

葛泉云  苏州市文昌实验中学

【课标要求】

1．掌握直角三角形的判定、性质．

2．能用面积法求直角三角形斜边上的高．

3．掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理解决简单的实际问题．

4．理解锐角三角函数定义（正弦、余弦、正切、余切），知道四个三角函数间的关系．

5．能根据已知条件求锐角三角函数值．

6．掌握并能灵活使用特殊角的三角函数值．

7．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形中的边与角的问题．

8．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形有关的实际问题．

【课时分布】

解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试，下表为课时安排（仅供参考）．

1．知识脉络

2．基础知识

直角三角形的特征

⑴直角三角形两个锐角互余；

⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；

⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：

在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2=c2；

⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C＝90°；

⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB．

锐角三角函数的定义：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,

则sinA=,cosA=,tanA=,cotA=

特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随的变化情况）

解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）

⑴三边之间的关系：a2+b2=c2．

⑵两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．．

⑶边角之间的关系：sinA=,cosA=．

                tanA=,cotA=．

⑷解直角三角形中常见类型：

①已知一边一锐角．

②已知两边．

③解直角三角形的应用．

2．能力要求

例1  在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的四个三角函数值．

【分析】求∠BCD的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD是在Rt△BCD中的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD和CD，二是把∠BCD转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案．

【解】 在Rt△ABC中，∵ ∠ACB＝90°∴∠BCD＋∠ACD＝90°，

∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝10，

∴sin∠BCD=sinA==,cos∠BCD=cosA==,

tan∠BCD=tanA==,cot∠BCD=cotA==．    

【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，教师应强调转化的思想，即本题中角的转换．（或可利用射影定理，求出BD、DC，从而利用三角函数定义直接求出）

例2  如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪离AB为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号）

【分析】求CE的长，此时就要借助于另一个直角三角形，故过点A作AG⊥CD，垂足为G，在Rt△ACG中，可求出CG，从而求得CD，在Rt△CED中，即可求出CE的长．

【解】 过点A作AG⊥CD，垂足为点G，

在Rt△ACG中，∵∠CAG＝30°，BD＝6，

∴tan30°=，∴CG=6×=2

∴CD=2+1.5,在Rt△CED中，sin60°=，∴EC===4+．

答：拉线CE的长为4+米．

【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键．老师在复习过程中应加以引导和总结．

例3  如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？

【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA与AB的坡度均为1∶0.5．

【解】 ⑴∵i=tanB,即tanB==2，∴∠B=63.43°．

⑵过点M、N分别作ME⊥AD，NF⊥AD，

垂足分别为E、F．

由题意可知：ME＝NF＝5，∴＝，

∴AE＝DF＝2.5，

∵AD=4， ∴MN=EF=1.5，

∴S梯形ADNM＝(1.5+4)×1＝2.75．

∴需要土方为2.75×90=247.5 (m3) ．

【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝＝坡角的正切值，虽然2007年中考时计算器不能带进考场，但学生应会使用计算器，所以建议老师还是要复习一下计算器的使用方法．

例4  某风景区的湖心岛有一凉亭A,其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C间距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：sin32°≈0.5299,cos32°≈0.8480,tan s32°≈0.6249,cot32°≈1.600）

【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出AB的长，只要去解Rt△ADC

和Rt△BDC即可．

【解】过点C作CD⊥AB，垂足为D．

由题知：∠ =45°，∠=32°．

在Rt△BDC中，sin32°=，∴BD＝100sin32°≈52.99．

cos 32°=，∴CD=100 cos 32°≈84.80．

在Rt△ADC中，∵∠ACD=45°，∴AD=DC=84.80．

∴AB=AD+BD≈138米．

答：AB间距离约为138米．

【说明】本题中涉及到方位角的问题，引导学生画图是本题的难点，找到两个直角三角形的公共边是解题的关键，教师在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形．

例5  在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．

(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到         千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到           千米．

(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据，)．

【分析】⑴由题意易知．

⑵先要计算出OH和PH的长，即可求得台风中心移动时间，而后求出台风侵袭的圆形区域半径，此圆半径与OH比较即可．

【解】⑴100；． 

⑵作OH⊥PQ于点H，可算得

（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则，算得（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：（千米）＜141（千米）．

∴城市O不会受到侵袭．

【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题常常要构造直角三角形,利用三角函数知识来解决．

例6  如图所示：如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60° ，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45° ，已知OA=100米，山坡坡度为，（即tan∠PAB=）且O、A、B在同一条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留）．

【分析】很显然，电视塔OC的高在Rt△OAC中即可求得.

要求点P的铅直高度，即求PE的长，由坡度i=1:2，可设PE=x,则AE＝2x.此时只要列出关于x的的方程即可.而此时要借助于45°所在的Rt△来解决.故过点P作PF⊥OC，垂足为F.在Rt△PCF中，由PF＝CF，得100+2x=100–x,即可求得PE的长.

【解】过点P作PF⊥OC，垂足为F.

在Rt△OAC中,由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA tan∠OAC=100米.

过点P作PE⊥AB，垂足为E.由i=1:2,设PE=x,则AE＝2x.

∴PF＝OE＝100+2x，CF＝100–x.

在Rt△PCF中,由∠CPF＝45°，∴PF＝CF,即100+2x=100–x, ∴x＝,

即PE=

答：电视塔OC高为100米.点P的铅直高度为　米.

【说明】本题是解直角三角形的应用中又一类型，即解直角三角形时，当不能直接解出三角形的边时，可设未知数，利用方程思想来解决，这是解决数学问题中常用的方法，沟通了方程与解直角三角形之间的联系．

【复习建议】

1、立足教材，打好基础，学生通过复习，应熟练掌握解直角三角形的基本知识、基本方法和基本技能．

2、重视问题情境的创设和实际问题的解决，强化数形结合的思想和方法的渗透、总结和升华．

增强学生运用解直角三角形的知识解决与生产、生活相关问题的意识和能力．

3、加强解直角三角形的知识与方程知识的联系，提高学生综合运用数学知识的水平，促进学生更快、更好地构建数学知识网络．

4、重视题型的生活化，复习中强调三角函数的本质，正确理解解直角三角形中边角之间的关系，引导学生用数学的眼光来看待问题．