反比例函数与实际问题

1.甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；…，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．（1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？（2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p=优惠金额／购买商品的总金额，其中“优惠金额”即是少付金额），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（200≤x＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由

2.元旦期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量钏销对消费者受益程度的大小呢？某数学小组通过合作探究发现用优惠率p=k／m（其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额）可以很好地进行衡量，优惠率p越大，消费者受益程度越大；反之就越小．经统计，若顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m（200≤m＜400）元时，优惠率分别为P甲=K甲／m与P乙=K乙／m，它们与m的关系图象如图所示，其中其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保持定值．（1）求出k甲的值，并用含m的代数式表示k乙．（2）当购买总金额m（元）在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么．（3）品牌、质量、规格等都相同的基本种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m（200≤m＜400）元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱少些？请说明理由

3.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对（x,y）的对应点；（2）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；（3）设经营此贺卡的销售利润为w元，试求出w（元）与x（元）之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？最大日销售利润是多少？

4.某商场出售一批进价为3元的小工艺品，在市场营销中发现此工艺品的日销售单位x（单位：元）与日销售量y（单位：个）之间有表中关系：（1）根据表中数据反映规律确定y与x之间的函数关系式；（2）设经营此小工艺品的日销售利润为S元，求出S与x之间的函数关系式；（3）物价局规定小商品的利润不得高于进价的200%，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大日销售利润是多少？

5.某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0．每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，且得到了表中的数据．（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；（2）推断是否存在某个月既无盈利也不亏损

6.小张获得了某公司为期60天的新产品销售权，已知该产品的成本为35元/件，经调查，此商品在第x天的销售量p件与销售天数x的关系如下表：销售单位q（元/件）与x满足：当1≤x＜45时，q=x+55；当45≤x≤60时，q=35+．（1）请分析表格中销售量p与x的关系，请直接写出销售量p与x的关系；（2）请求出这60天内小张获得的最大日销售利润

7.某网店试营销一种新型商品，进价为20元/件，试营销期为18天，销售价y（元/件）与销售天数x（天）满足：当1≤x≤9时，y=k1x+30；当10≤x≤18时，y=+20．在试营销期内，销售量p=30﹣x；（1）当x=5或12时，y=32.5，求k1，k2的值；（2）分别求当1≤x≤9，10≤x≤18时，该网店的销售利润ω（元）与销售天数x（天）之间的函数关系式；（3）该网店在试营销期间，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

8.某学校小组利用暑假中前40天参加社会实践活动，参与了一家网上书店的经营，了解到一种成本为20元/本的书在x天销售量p=50﹣x，在第x天的售价为y（元/本），y与x的关系如图所示．已知当社会实践活动时间超过一半后．y=20+（1）请求出当1≤x≤20时，y与x的函数关系式，请问第几天此书的销售单价为35元/本？（2）这40天中该网点销售此书第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？

反比例函数与实际问题答案

1.分析：（1）根据题意直接列出算式510﹣200即可；（2）根据商家的优惠率即可列出p与x之间的函数关系式，并能得出p随x的变化情况；（3）先设购买商品的总金额为x元，（200≤x＜400），得出甲商场需花x﹣100元，乙商场需花0.6x元，然后分三种情况列出不等式和方程即可；

解：（1）根据题意得：510﹣200=310（元）答：顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付310元．（2）p与x之间的函数关系式为p=，p随x的增大而减小；（3）设购买商品的总金额为x元，（200≤x＜400），则甲商场需花x﹣100元，乙商场需花0.6x元，由x﹣100＞0.6x，得：250＜x＜400，乙商场花钱较少，由x﹣100＜0.6x，得：200≤x＜250，甲商场花钱较少，由x﹣100=0.6x，得：x=250，两家商场花钱一样多．

2.分析：（1）把m=200，p甲=0.5代入中求得得k甲=100，然后根据p乙始终为0.4，得到，从而求得k乙的值即可；（2）当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时，代入可得甲家商场采取的促销方案是：优惠100元；乙家商场采取的促销方案是：打6折促销．（3）根据当200≤m＜400时，甲家商场需花（m﹣100）元，乙家商场需花0.6m元．然后据m﹣100=0.6m，得m=250．即当m=250时，在两家商场购买花钱一样多．从而确定哪家更优惠．

解：（1）把m=200，p甲=0.5代入中，得k甲=100．由于p乙始终为0.4，即，∴k乙=0.4m．（2）由（1）及优惠率p的含义可知：当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时，甲家商场采取的促销方案是：优惠100元；乙家商场采取的促销方案是：打6折促销．（3）由上可知，当200≤m＜400时，甲家商场需花（m﹣100）元，乙家商场需花0.6m元．据m﹣100=0.6m，得m=250．即当m=250时，在两家商场购买花钱一样多．再由图象易知，当200≤m＜250时，甲商场更优惠；当250＜m＜400时，乙商场更优惠．

3.分析：（1）简单直接描点即可；（2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；（3）首先要知道纯利润=（销售单价x﹣2）×日销售数量y，这样就可以确定w与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过10元/张，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x．

解：（1）如图，直接建立坐标系描点即可．（2）如图所示：设函数关系式为y=（k≠0且k为常数），把点（3，20）代入y=中得，k=60，又将（4，15）（5，12）（6，10）分别代入，成立．所以y与x之间的函数关系式为：．（3）∵，则函数是增函数在x＞0的范围内是增函数，又∵x≤10，∴当x=10，W最大，∴此时获得最大日销售利润为48元

4.分析：（1）利用表中数据规律可知x与y的乘积一定进而得出y与x之间的函数关系式；（2）利用（1）中所求，再利用进价为3元，进而得出每件利润，即可得出S与x之间的函数关系式；（3）首先得出x的取值范围，进而利用函数增减性得出答案．

解：（1）由表中数据规律可知x与y的乘积一定，为105×4=420．所以函数关系式为：y=；（2）根据题意可得：S=（x﹣3）×=﹣+420；（3）由题意可知：x≤3+3×200%，∴3≤x≤9，∵k=﹣1260＜0，∴S随x的增大而增大，∴当x=9时，S的值最大，最大值为280，∴当日销售单价定为9元时，才能获得最大日销售利润是280元．

5.分析：（1）设y=a+，将表中相关数据代入可求得a、b，根据12=18﹣（6+），则=0可作出判断；（2）由18=6+，求得x=50，根据50=2n2﹣26n+144可判断．

解：（1）设y=a+，由表中数据可得：11＝a＋,12＝a＋，解得，∴y=6+，由题意，若12=18﹣（6+），则=0，∵x＞0，∴＞0，∴一件产品的利润不可能是12万元；（2）由题意，得：18=6+，解得：x=50，∴50=2n2﹣26n+144，即n2﹣13n+47=0，∵△=（﹣13）2﹣4×1×47＜0，∴方程无实数根，∴不存在某个月既无盈利也不亏损

6.分析：（1）由表格可以看出销售量p件与销售的天数x成一次函数，设出函数解析式，进一步代入求得答案即可；（2）利用利润=售价﹣成本，分别求出在1≤x＜45和45≤x≤60时，求得y与x的函数关系式；再根据函数的性质求得最大值，然后比较两者的大小得出答案即可

解：（1）设销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=kx+b，代入（1，198），（2，196）得k+b＝198,2k＋b＝196，解得k＝-2,b＝200，因此销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=﹣2x+200；（2）设日销售利润为y，当1≤x＜45时，q=x+55，y=（x+55﹣35）（﹣2x+200）=﹣2x2+160x+4000=﹣2（x﹣40）2+7200，∵﹣2＜0，∴当x=40时，y有最大值y1，且y1=7200，当45≤x≤60时，q=35+，y=（35+﹣35）（﹣2x+200）=﹣5850；∵585000＞0，∴y随x的增大而减小，当x=45时，最大，于是，x=45时，y=﹣5850有最大值y2，且y2=13000﹣5850=7150．∵y1＞y2，∴这60天内小张获得的最大日销售利润为7200元

7.分析：（1）根据两个x的数值分别代入两个函数求得数值即可；（2）根据两个不同的取值范围，利用销售利润=销售量×每一件的销售利润列出函数即可；（3）利用（2）中的函数解析式，结核函数的性质求得最大值，比较得出答案即可．

解：（1）根据题意，当X=5时，y=32.5，∵1≤x≤9，32.5=5k1+30，解得k1=；当x=12时，y=32.5，∵10≤x≤18，32.5=+20，解得k2=150；∴当1≤x≤9时，k1=；当10≤x≤18时，k2=150；（2）①当1≤x≤9时，w=（y﹣20）p=（x+30﹣20）（30﹣x）=﹣x2+5x+300；②当10≤x≤18时，w=（y﹣20）p=（+20﹣20）（30﹣x）=﹣150；（3）当1≤x≤9时，w=﹣x2+5x+300=﹣（x﹣5）2+312.5，∵﹣＜0，∴当x=5时，w有最大值为312.5；当10≤x≤18时，w=﹣150；∵4500＞0，∴w随着x的增大而减小，∴当x=10时，w=﹣150有最大值﹣150=300，∵312.5＞300，∴该网店在试营销期间，第5天获得的利润最大，最大利润是312.5元

8.分析：（1）当1≤x≤20时，设y=kx+b，将（1，30.5），（20，40）代入，利用待定系数法求出y与x的函数关系式；然后在每个x的取值范围内，令y=35，分别解出x的值即可；（2）利用利润=售价﹣成本，分别求出在1≤x≤20和21≤x≤40时，获得的利润w与x的函数关系式；再利用二次函数及反比例函数的性质求出最大值，然后比较即可．

解：（1）当1≤x≤20时，设y=kx+b，将（1，30.5），（20，40）代入得k+b=30.5,20k+b=40，解得k=0.5，b=30.则y与x的函数关系式为y=x+30；当1≤x≤20时，令x+30=35，解得x=10，当21≤x≤40时，令20+=35，解得：x=21，经检验得x=21是原方程的解且符合题意，即第10天或者第21天该商品的销售单价为35元/件；（2）设该网店第x天获得的利润为w元．当1≤x≤20时，w=（x+30﹣20）（50﹣x）=﹣x2+15x+500=﹣（x﹣15）2+，∵﹣＜0，∴当x=15时，w有最大值w1，且w1=，当21≤x≤40时，w=（20+﹣20）（50﹣x）=﹣315，∵15750＞0，∴随x的增大而减小，∴x=21时，最大．于是，x=21时，w有最大值w2，且w2=﹣315=435，∵w1＞w2，∴这40天中该网点销售此书第10天获得的利润最大，最大的利润是612.5元