高等数学(下)期末试题

一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。

1、和存在是函数在点连续的（  ）。

   A.必要非充分的条件；    B.充分非必要的条件；

   C.充分且必要的条件；    D.即非充分又非必要的条件。

3、设，则＝（  ）。

   A.；B.；C.；D. 

3、设是面上以为顶点的三角形区域，是中在第一象限的部分，则积分＝（  ）

   A.； B.； C.； D.0

4、设为曲面上的部分，则＝（  ）。

   A.0；       B.；      C.；      D. 

5、设二阶线性非齐次方程有三个特解，，，则其通解为（  ）。

   A.；                B.；

   C.；      D. 

二、填空题（每题３分，总计１５分）。

1、函数在点处取得极值，则常数＝______。

2、若曲面的切平面平行于平面，则切点坐标为______________________。

3、二重积分的值为______________。

4、设空间立体所占闭区域为，上任一点的体密度是，则此空间立体的质量为____________。

5、微分方程的通解为_____________________。

三、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、已知及点、，求函数在点处沿由到方向的方向导数，并求此函数在点处方向导数的最大值。

2、设具有连续的二阶偏导数，求。

3、将函数展开成的幂级数，并指出收敛域。

4、设满足方程，且其图形在点与曲线相切，求函数。

5、计算，其中是螺旋线对应的弧段。

四、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、设，计算极限的值。

2、计算，其中由不等式及所确定。

3、计算，其中为下半球面的下侧，为大于零的常数。

4、将函数展开成以2为周期的傅立叶级数。

5、设函数具有连续导数并且满足，计算曲线积分的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线是由到的任一条逐段光滑曲线。

五、本题５分。

对，讨论级数的敛散性。

一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。

1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ

二、填空题（每题３分，总计１５分）。

1、-5；2、；3、；4、；5、

三、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、已知及点、，求函数在点处沿由到方向的方向导数，并求此函数在点处方向导数的最大值。

解：由条件得 

从而 =

点A的梯度方向是

所以方向导数的最大值是

2、设具有连续的二阶偏导数，求。

解： 

3、将函数展开成的幂级数，并指出收敛域。

解： 

收敛域为。

4、设满足方程，且其图形在点与曲线相切，求函数。

解：由条件知满足

由特征方程,对应齐次方程的通解

设特解为，其中A为待定常数，代入方程，得

从而得通解,代入初始条件得

最后得

5、计算，其中是螺旋线对应的弧段。

解： 

四、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、设，计算极限的值。

解：设，则原问题转化为求和函数在处的值

而

故所求值为

2、计算，其中由不等式及所确定。

解： 

3、计算，其中为下半球面的下侧，为大于零的常数。

解：取为面上的圆盘，方向取上侧，则

4、将函数展开成以2为周期的傅立叶级数。

解：所给函数在上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在内收敛于函数本身。

，， 

5、设函数具有连续导数并且满足，计算曲线积分的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线是由到的任一条逐段光滑曲线。

解：由条件有

设，则得

代入条件得，从而原积分变为

五、本题５分。

设，与在上具有一阶连续偏导数，，且在的边界曲线（正向）上有，证明        

证明：