2019年北京市高考数学试卷(文科)以及答案解析

2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

文科数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（　　）

A．（﹣1，1） B．（1，2） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）

2．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（　　）

A． B． C．3 D．5

3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）

A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝logx D．y＝

4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（5分）已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的离心率是，则a＝（　　）

A． B．4 C．2 D．

6．（5分）设函数f（x）＝cosx+bsinx（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件    

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1

8．（5分）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（　　）

A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．（5分）已知向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，则m＝　   　．

10．（5分）若x，y满足则y﹣x的最小值为　   　，最大值为　   　．

11．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为　   　．

12．（5分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为　   　．

13．（5分）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　   　．

14．（5分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付　   　元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为　   　．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（13分）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣．

（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）求sin（B+C）的值．

16．（13分）设{an}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．

17．（12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．

19．（14分）已知椭圆C：+＝1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．

20．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+x．

（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；

（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．

2019年北京市高考数学（文科）答案解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】直接由并集运算得答案．

【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，

∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}∪{x|x＞1}＝（﹣1，+∞）．

故选：C．

【点评】本题考查并集及其运算，是基础的计算题．

2．【分析】直接由求解．

【解答】解：∵z＝2+i，

∴z•＝．

故选：D．

【点评】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题．

3．【分析】判断每个函数在（0，+∞）上的单调性即可．

【解答】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．

故选：A．

【点评】考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性．

4．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

k＝1，s＝1

s＝2

不满足条件k≥3，执行循环体，k＝2，s＝2

不满足条件k≥3，执行循环体，k＝3，s＝2

此时，满足条件k≥3，退出循环，输出s的值为2．

故选：B．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

5．【分析】由双曲线方程求得b2，再由双曲线的离心率及隐含条件a2+b2＝c2联立求得a值．

【解答】解：由双曲线﹣y2＝1（a＞0），得b2＝1，

又e＝，得，即，

解得，a＝．

故选：D．

【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是基础题．

6．【分析】“b＝0”⇒“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”⇒“b＝0”，由此能求出结果．

【解答】解：设函数f（x）＝cosx+bsinx（b为常数），

则“b＝0”⇒“f（x）为偶函数”，

“f（x）为偶函数”⇒“b＝0”，

∴函数f（x）＝cosx+bsinx（b为常数），

则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件．

故选：C．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

7．【分析】把已知熟记代入m2﹣m1＝lg，化简后利用对数的运算性质求解．

【解答】解：设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45，

由题意可得：，

∴，则．

故选：A．

【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．

8．【分析】由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．

【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，

要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，

即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，

AB＝2•2sinβ＝4sinβ，

扇形AOB的面积为•2β•4＝4β，

△ABQ的面积为（2+2cosβ）•4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，

S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β﹣•2•2sin2β＝4sinβ，

即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．

故选：B．

【点评】本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．【分析】⊥则，代入，，解方程即可．

【解答】解：由向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，

得，

∴m＝8．

故答案为：8．

【点评】本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题．

10．【分析】由约束条件作出可行域，令z＝y﹣x，作出直线y＝x，平移直线得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

A（2，﹣1），B（2，3），

令z＝y﹣x，作出直线y＝x，由图可知，

平移直线y＝x，当直线z＝y﹣x过A时，z有最小值为﹣3，过B时，z有最大值1．

故答案为：﹣3，1．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

11．【分析】由题意画出图形，求得圆的半径，则圆的方程可求．

【解答】解：如图，

抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），

∵所求圆的圆心F，且与准线x＝﹣1相切，∴圆的半径为2．

则所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4．

故答案为：（x﹣1）2+y2＝4．

【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．

12．【分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解．

【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，

则该几何体的体积V＝．

故答案为：40．

【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．

13．【分析】由l，m是平面α外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l⊥α，l⊥m，则m∥α．

【解答】解：由l，m是平面α外的两条不同直线，知：

由线面平行的判定定理得：

若l⊥α，l⊥m，则m∥α．

故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．

【点评】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

14．【分析】①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；

②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值．

【解答】解：①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），

即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）；

②在促销活动中，设订单总金额为m元，

可得（m﹣x）×80%≥m×70%，

即有x≤，

由题意可得m≥120，

可得x≤＝15，

则x的最大值为15元．

故答案为：130，15

【点评】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．【分析】（1）利用余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；

（2）sin（B+C）＝sin（﹣A）＝sinA，根据正弦定理可求出sinA．

【解答】解：（1）∵a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣．

∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB

＝，

∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；

（2）在△ABC中，∵cosB＝﹣，∴sinB＝，

由正弦定理有：，

∴sinA＝＝，

∴sin（B+C）＝sin（﹣A）＝sinA＝．

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理，属基础题．

16．【分析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d＝2，由此能求出{an}的通项公式．

（Ⅱ）由a1＝﹣10，d＝2，得Sn＝﹣10n+＝n2﹣11n＝（n﹣）2﹣，由此能求出Sn的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．

∴（a3+8）2＝（a2+10）（a4+6），

∴（﹣2+2d）2＝d（﹣4+3d），

解得d＝2，

∴an＝a1+（n﹣1）d＝﹣10+2n﹣2＝2n﹣12．

（Ⅱ）由a1＝﹣10，d＝2，得：

Sn＝﹣10n+＝n2﹣11n＝（n﹣）2﹣，

∴n＝5或n＝6时，Sn取最小值﹣30．

【点评】本题考查数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

17．【分析】（Ⅰ）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，求出A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数．

（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，由此能求出该学生上个月支付金额大于2000元的概率．（Ⅲ）从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得：

从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，

A，B两种支付方式都不使用的有5人，

仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，

∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，

∴估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：1000×＝400人．

（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，

从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，

该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，

∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率p＝＝．

（Ⅲ）不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，

理由如下：

上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．

现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，

发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，

虽然概率较小，但发生的可能性为．

故不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．

【点评】本题考查频数、概率的求法，考查频数分布表、概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

18．【分析】（Ⅰ）推导出BD⊥PA，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．

（Ⅱ）推导出AB⊥AE，PA⊥AE，从而AE⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面PAE．

（Ⅲ）棱PB上是存在中点F，取AB中点G，连结GF，CG，推导出CG∥AE，FG∥PA，从而平面CFG∥平面PAE，进而CF∥平面PAE．

【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，

∴BD⊥PA，BD⊥AC，

∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．

（Ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，

E为CD的中点，∠ABC＝60°，

∴AB⊥AE，PA⊥AE，

∵PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB，

∵AE⊂平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．

解：（Ⅲ）棱PB上是存在中点F，使得CF∥平面PAE．

理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，

∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，

∴CG∥AE，FG∥PA，

∵CG∩FG＝G，AE∩PA＝A，

∴平面CFG∥平面PAE，

∵CF⊂平面CFG，∴CF∥平面PAE．

【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查满足线面平行的眯是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

19．【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝c＝1，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求椭圆方程；

（Ⅱ）y＝kx+t与椭圆方程x2+2y2＝2联立，运用韦达定理，化简整理，结合直线恒过定点的求法，计算可得结论．

【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+＝1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．

可得b＝c＝1，a＝＝，

则椭圆方程为+y2＝1；

（Ⅱ）证明：y＝kx+t与椭圆方程x2+2y2＝2联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

△＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，

AP的方程为y＝x+1，令y＝0，可得y＝，即M（，0）；

AQ的方程为y＝x+1，令y＝0，可得y＝．即N（，0）．

（1﹣y1）（1﹣y2）＝1+y1y2﹣（y1+y2）＝1+（kx1+t）（kx2+t）﹣（kx1+kx2+2t）

＝（1+t2﹣2t）+k2•+（kt﹣k）•（﹣）＝，

|OM|•|ON|＝2，即为|•|＝2，

即有|t2﹣1|＝（t﹣1）2，由t≠±1，解得t＝0，满足△＞0，

即有直线l方程为y＝kx，恒过原点（0，0）．

【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

20．【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），由f′（x）＝1求得切点，即可得点斜式方程；

（Ⅱ）把所证不等式转化为﹣6≤f（x）﹣x≤0，再令g（x）＝f（x）﹣x，利用导数研究g（x）在[﹣2，4]的单调性和极值点即可得证；

（Ⅲ）先把F（x）化为|g（x）﹣a|，再利用（Ⅱ）的结论，引进函数h（t）＝|t﹣a|，结合绝对值函数的对称性，单调性，通过对称轴t＝a与﹣3的关系分析即可．

【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝，

由f′（x）＝1得x（x﹣）＝0，

得．

又f（0）＝0，f（）＝，

∴y＝x和，

即y＝x和y＝x﹣；

（Ⅱ）证明：欲证x﹣6≤f（x）≤x，

只需证﹣6≤f（x）﹣x≤0，

令g（x）＝f（x）﹣x＝，x∈[﹣2，4]，

则g′（x）＝＝，

可知g′（x）在[﹣2，0]为正，在（0，）为负，在[]为正，

∴g（x）在[﹣2，0]递增，在[0，]递减，在[]递增，

又g（﹣2）＝﹣6，g（0）＝0，g（）＝﹣＞﹣6，g（4）＝0，

∴﹣6≤g（x）≤0，

∴x﹣6≤f（x）≤x；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，

F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|

＝|f（x）﹣x﹣a|

＝|g（x）﹣a|

∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，

令t＝g（x），h（t）＝|t﹣a|，

则问题转化为当t∈[﹣6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了，

①当a≤﹣3时，M（a）＝h（0）＝|a|＝﹣a，

此时﹣a≥3，当a＝﹣3时，M（a）取得最小值3；

②当a≥﹣3时，M（a）＝h（﹣6）＝|﹣6﹣a|＝|6+a|，

∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a，

也是a＝﹣3时，M（a）最小为3．

综上，当M（a）取最小值时a的值为﹣3．

【点评】此题考查了导数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，难度较大．