中考专题：锐角三角函数

【重点难点提示】

重点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，三角函数间的同角关系与互余关系．

难点：锐角三角函数在0°～90°之间的变化规律的应用．

考点：锐角三角函数的有关知识在初中数学中占有比较重要的地位；近年各地中考试题中，大多以填空或选择题的形式出现，约占考量的2.5％．

【经典范例引路】

例1  （1）计算：+cot30°-tan45°-cos30°;

（2）Rt△ABC中，∠C=90°,a=2,b=2，求cosA.

解：（1）原式=+ cot30°-tan45°-cos30°;

=+-1-=1+-1-=

（2）在Rt△ABC中，∴∠C＝90°，a＝2，b＝2，∴c＝=2

∴cosA===

【解题技巧点拨】

（1）主要注意隐含关系式sin2α＋cos2α＝1的运用，来求得sin215°＋sin275°＝sin215°＋cos215°＝1的技巧．

例2  已知cosα＝0.6975，sinβ＝0.7328（α、β均为锐角），求证：α＋β＞90°

证明：∵α、β为锐角  ∴90°-β也为锐角，且cosα＝0.6975，cos（90°-β）＝sinβ=0.7328，根据余弦函数在0°～90°之间的变化规律有：α＞90°-β即α+β＞90°

【解题技巧点拨】

本题必须灵活运用余弦函数在0°～90°之间的变化规律及三角函数间的互余关系解题．

【综合能力训练】

一、填空题

1.计算：sin60°·cot30°+sin245°＝                 ．（2001江西中考题）

2．求值：sin60°·cos45°＝                    .（2001广州市中考题）

3．在△ABC中，如果∠C=90°，∠A＝45°那么tanA＋sinB=          ；△ABC为                对称图形（填“轴”或“中心”）（2001北京中考题）

4.α为锐角时，＝                ．

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，＋|cosB+1|＝                ．

6.已知：cot(90°-x)=，则=                    。

7．若tanα·tan46°＝ 1（α为锐角），则α＝                    。

8.Rt△ABC中，∠C＝90°，且＝,＝．则sinA＝            .

二、选择题：

9.（2001，甘肃中考题）若α是锐角，sinα=cos50°，则α等于（    ）

A．20°                B．30°            C．40°                D．50°

10.sin°与cos26°之间的关系是（    ）

A．sin°＜cos26°                    B．sin°＝cos26°

C．sin°＞ cos26°                D．sin°＝ -cos26°

11.△ABC中，∠C＝90°，则cosA·cotB的值是（    ）

A.                  B.             C.                 D. 

12.当∠A为锐角，且cotA的值小于时，∠A应（    ）

A．小于30°            B．大于3O°        C．小于60°            D．大于60°

13.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（    ）

A．都扩大两倍        B.都缩小两倍    C．不变                D．都扩大四倍

14.在△ABC的三内角中， A∶B∶C＝3∶2∶7，则sinA∶sinB＝（    ）

A．1∶            B.1∶        C.                D. ∶

15．已知0°＜α＜45°，则使无意义的α的值是（    ）

A．3O°                B．15°            C．不存在             D．非以上答案

16．已知45°＜θ＜90°，且2sinθ-x+3＝0则x的取值范围是（    ）

A.＜x＜1                        B．3-＜x＜1

C．3+＜x＜5                        D．1＜x＜3＋

三、解答题：

17.设x=()-1+(sin73°)0+tan21°·tan69°，求（-）÷的值．

18.已知方程4x2＋kx＋2＝0的两根是sinθ，cosθ（ θ为锐角），求k和θ．

 19.计算：+|1-tan60°|

20.计算：（）-2+（sin21°13′-tan21°）0-

21.已知sinα+cosα＝m,sinα·cosα＝n，试确定m与n的关系．

【创新思维训练】

22．计算：tan1°·tan2°·tan3°·tan4°……tan88°·tan°的值．

23．cosx＝α+（α＞ 0）成立吗？若成立，求出α的值．若不成立，请说明理由．

参

【综合能力训练】

一、1.2  2.   3.1+,轴  4.1-cosα  5.2  6.3+2  7.44°  8. 

二、9.C  10.B  11.A  12.B  13.C  14.C  15.B  16.C

三、17.原式==4(+1)  18.,θ=45°  19.   20.-1  21.m2=2n+1

22.1  23.不成立(a+>1而0