高中数学函数概念

1、函数的概念

定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数。记作：x→y=f(x),x∈A.集合A叫做函数的定义域，记为D,集合{y∣y=f(x),x∈A}叫做值域，记为C。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。

两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。

已学函数的定义域和值域

一次函数:定义域R, 值域R;

反比例函:定义域, 值域;

二次函数:定义域R，值域：当时，；当时，

2、函数图象

定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x取何值，都同时确定了一个点，由于x的取值范围是无穷大，同样y也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。

常数函数f(x)=1                  一次函数f(x)=-3x+1 

二次函数f(x)=2x²+3x+1          反比例函数f(x)=1/x

3、定义域的求法

已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况：

分式中的分母不为零；

偶次根式下的数或式大于等于零；

实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定；

定义域一般用集合或区间表示。

4、值域的求法

①观察法

  通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

  例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

      ②反函数法

  当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

  例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

   练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

③配方法

  当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

  例3：求函数y=√(－x²+x+2)的值域。

    练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.

④判别式法

  若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

      ⑤图象法

  通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

  例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) ²的值域。

      ⑥换元法

  以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

  例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。

   练习：求函数y=√x-1 –x的值域。

      ⑦不等式法

  例6求函数y=(2x-1)/(x+1)  (1≤x≤2) 的值域。

5、复合函数

设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域Dg中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量（即函数）。

6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法

7、分段函数：对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集.

分段函数经常使用图像法

8、函数解析式的求法

①代入法

例1已知f(x)=x²-1,求f(x+x²)

②待定系数法

若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。

例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x)

③换元法

例3已知：，求。

④特殊值法

例4已知函数对于一切实数都有成立，且。

(1)求的值；(2)求的解析式。

⑤方程组法

例5已知：，求。

1、求下列函数的定义域：

① ；② ；③ 

2、求下列函数的值域

① y=3x+2(-1x1)      ②     

③            ④

3函数的最大值是              。

4已知：，求。

5若求

6已知求．