数学（理科） 2008.5.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1.若纯虚数满足（其中是虚数单位，是实数），则（ ）
A． B． C． D．
2.已知命题：，，则 （ ）
A．：， B．：，
C．：， D．：，
3.函数的图像 （ ）
A．关于原点成中心对称 B．关于轴成轴对称
C．关于点成中心对称 D．关于直线成轴对称
4.已知函数（其中），若的图像
如右图所示，则函数的图像是（ ）
A． B． C． D．
5.设为坐标原点，，若点满足，则取得最小值时，点的个数是 （ ）
A． B． C． D．无数个
6.如图所示的算法中，令，，，若在集合中，给取一个值，输出的结果是，则的值所在范围是 （ ）
A． B．
C． D．
7.如图，圆周上按顺时针方向标有五个点。一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点。若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点。该青蛙从这点跳起，经2008次跳后它将停在的点是（ ）
A．
B．
C．
D．
试卷来源:南方学科网 www.nfxk.com
8.某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：）数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图（如图所示）。已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为、，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为 （ ）
A．480
B．440
C．420
D．400
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分。其中13～15题是选做题，考生在这三题中选做两题，三题全答的只计算前两题的得分。
9.计算： 。
10.设为等差数列的前项和，若，，则当取得最大值时，的值为 。试卷来源:南方学科网 www.nfxk.com
11.已知的展开式中所有项的系数的绝对值之和为，则的展开式中系数最小的项是 。
12.已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是 。
13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的极坐标方程是。现以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则圆的半径是 ，圆心的直角坐标是 。
14.（不等式选讲选做题）设函数，则的最小值是 ，若，则的取值范围是 。
15.（几何证明选讲选做题）如图，已知是半圆的直径，是延长线上一点，切半圆于点，于点，若，，则 ， 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
在中，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，求的值．
17.（本小题满分12分）
某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有次选题答题的机会，选手累计答对题或答错题即终止其初赛的比赛，答对题者直接进入决赛，答错题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为．
(Ⅰ)求选手甲可进入决赛的概率；试卷来源:南方学科网 www.nfxk.com
(Ⅱ)设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望．
18.（本小题满分14分）
如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面底面，且为等腰直角三角形，，为的中点．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求证：平面；
(Ⅲ)求二面角的正切值．
19.（本小题满分14分）
若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，（其中为自然对数的底数）．
(Ⅰ)求的极值；
(Ⅱ) 函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分14分）
已知数列满足，（）．
（Ⅰ）判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项；
（Ⅱ）如果时，数列的前项和为，试求出，并证明当时，有
．
21.（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆的右准线上的点，满足线段的中垂线过点，直线：为动直线，且直线与椭圆交于不同的两点、。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值．
2008年深圳市高三年级第二次调研考试
数学(理科)答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| C | C | C | A | B | D | A | D |
9． 8 ． 10． 4 或 5 ． 11．． 12．．
13．，． 14． 3 ，． 15．， 5 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．【解】（Ⅰ），，
． ……1分
， …………………3分
． ………………6分
（Ⅱ）根据正弦定理得， ， ………………8分
由，得， ……………………………10分
． ………………12分
17．【解】 (Ⅰ) 选手甲答道题进入决赛的概率为； ……………1分
选手甲答道题进入决赛的概率为；…………………………3分
选手甲答5道题进入决赛的概率为； …………………5分
∴选手甲可进入决赛的概率++． …………………7分
(Ⅱ)依题意，的可能取值为．则有，
，
， …………………………10分
因此，有
18．【解】 解法一：(Ⅰ)取的中点，连结． ……1分
， ． ………………………………………2分
，且，
是正三角形，． ……………3分
平面．
． ……………………4分
(Ⅱ)取的中点，联结，
分别为的中点，
，且． ………………5分
∵四边形是直角梯形，且，
且． ………………………6分
∴四边形是平行四边形．
． ………………………8分
平面，
平面． ………………………9分
(Ⅲ)取的中点，联结．
∵四边形是直角梯形且，
，．
平面，
，
是二面角的平面角． ………………11分
设，则．
、分别为、中点，
．
是等腰直角三角形斜边的中点，． ……………13分
，
∴二面角的正切值为． ………………………………………14分
解法二：(Ⅰ)同解法1
(Ⅱ) ∵侧面底面，
又， 底面．
．
．
∴直线两两互相垂直，故可以分别以直线为轴、轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系． …………………………6分
设，，则可求得，则
． ………7分
且，
，即．
，即．
． ……………8分
设是平面的法向量，则且．
取，得． ……………………………………………9分
是的中点，．
．
．
． ………………………10分
平面，
平面． ………………………11分
(Ⅲ)平面，
是平面的法向量， ………………………12分
………………………13分
∴二面角的正切值为． ………………………14分
19．【解】(Ⅰ) ，
． …………………………2分
当时，． …………………………3分
当时，，此时函数递减；
当时，，此时函数递增；
∴当时，取极小值，其极小值为． …………………………6分
(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点． …………………………7分
设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即
． …………………………8分
由，可得当时恒成立．
，
由，得． …………………………10分
下面证明当时恒成立．
令，则
， …………………………11分
当时，．
当时，，此时函数递增；
当时，，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为．
从而，即恒成立．………13分
∴函数和存在唯一的隔离直线． ………………………14分
解法二： 由(Ⅰ)可知当时， (当且当时取等号) ．……7分
若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得
和恒成立，
令，则且
，即． …………………………8分
后面解题步骤同解法一．
20．【解】（Ⅰ），
．
令，则． ……………………………………………………2分
，
当时，，则．
数列不是等比数列．
当时，数列不是等比数列．…………………………………… 4分
当时，，则数列是等比数列，且公比为2．
，即．
解得． ………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，
．
令， ………………………①
则， …………②
由①-②：
，
， ……………………………………9分
则． ………………………………10分
，
当时，，则．…12分
，则．……13分
因此，
． ………………………………14分
21．【解】（Ⅰ）设椭圆的方程为，半焦距为，依题意有
解得 ．
所求椭圆方程为． ……………………………3分
（Ⅱ）由，得．
设点、的坐标分别为、，则……5分
．
（1）当时，点、关于原点对称，则．
（2）当时，点、不关于原点对称，则，
由，得 即
点在椭圆上，有，
化简，得．
，有．………………① ……………7分
又，
由，得．……………………………② ………………8分
将①、②两式，得．
，，则且．
综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是． ………………9分
（Ⅲ），点到直线的距离，
的面积
． ………………………… 12分
由①有，代入上式并化简，得．
，． ……………………… 13分
当且仅当，即时，等号成立．
当时，的面积最大，最大值为． ……………………… 14分
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