华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三

一、填空题

1．若函数在点处取得极值，则常数．

2．设，则． 

3．设S是立方体的边界外侧，则曲面积分

  3  ．

4．设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为．

5．微分方程用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形式为．

二、选择题

1．函数在点处（ D  ）．

  （A）无定义；                           （B）无极限；

  （C）有极限但不连续；                   （D）连续．

2．设，则（  B  ）．

（A）；              （B）；

  （C）；                     （D）．

3．两个圆柱体，公共部分的体积为（  B  ）．

  （A）；         （B）；

  （C）；         （D）．

4．若，，则数列有界是级数收敛的（  A   ）．

（A）充分必要条件；                    （B）充分条件，但非必要条件；

（C）必要条件，但非充分条件；           （D）既非充分条件，又非必要条件．

5．函数（为任意常数）是微分方程的（  C   ）．

（A）通解；                                （B）特解；

  （C）是解，但既非通解也非特解；            （D）不是解．

三、求曲面上点处的切平面和法线方程．

解： 

切平面为

法线为

四、求通过直线的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线．

解：设过直线的平面束为

即

第一个平面平行于直线，

即有

从而第一个平面为

第二个平面要与第一个平面垂直，

也即

从而第二个平面为

五、求微分方程的解，使得该解所表示的曲线在点处与直线相切．

解：直线为，从而有定解条件，

特征方程为

方程通解为，由定解的初值条件

，由定解的初值条件

从而，特解为

六、设函数有二阶连续导数，而函数满足方程

试求出函数．

解：因为

特征方程为

七、计算曲面积分

，

其中是球体与锥体的公共部分的表面，，，是其外法线方向的方向余弦．

解：两表面的交线为

原式，投影域为，

用柱坐标

原式

另解：用球坐标

原式

八、试将函数展成的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）．

解： 

九、判断级数的敛散性．

解： 

当，级数收敛；当，级数发散；

当时级数收敛；当时级数发散

十、计算曲线积分，其中为在第一象限内逆时针方向的半圆弧．

解：再取，围成半圆的正向边界

则 原式

十一、求曲面：到平面：的最短距离．

解：问题即求在约束下的最小值

可先求在约束下的最小值点

取

时，

这也说明了是不可能的，因为平面与曲面最小距离为。