动量和能量综合问题

1． 弹性碰撞

发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为m1和m2，碰前速度为v1，v2，碰后速度分别为v1ˊ，v2ˊ，则有：

  m1v1+m2v2=m1v1ˊ+m2v2ˊ    (1)

m1v12+m2v22=m1v1ˊ2+m2v2ˊ 2    (2)

联立（1）、（2）解得：

v1ˊ=，v2ˊ=.

特殊情况： 

①若m1=m2      ，v1ˊ= v2  ，v2ˊ= v1    .

②若v2=0则    v1ˊ=，v2ˊ=.

     ()m1>>m2      v1ˊ=v1，v2ˊ=2v1 .   ()m1<2． 完全非弹性碰撞

碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得：

m1v1+m2v2=(m1+m2)v共    （1）

完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能：

 ΔEk= ½m1v12+ ½ m2v22- ½(m1+m2)v共2.   （2）

联立（1）、（2）解得：v共 =；ΔEk=

3． 非弹性碰撞

介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。动量守恒，碰撞系统动能损失。

根据动量守恒定律可得：m1v1+m2v2=m1v1ˊ+m2v2ˊ    (1)

损失动能ΔEk，根据机械能守恒定律可得：  ½m1v12+ ½ m2v22=m1v1ˊ2+m2v2ˊ 2 + ΔEk.     (2)

恢复系数e=  ①非弹性碰撞:04． 碰撞三原则

(1)动量守恒：即p1＋p2＝p1′＋p2′.

(2)动能不增加：即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋.

(3)速度要合理

①若碰前两物体同向运动，则应有v后>v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前′≥v后′。

②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。

【其它方法①】巧用恢复系数法

恢复系数e=  ①非弹性碰撞:0【其它方法①】临界法

弹性碰撞没有动能损失，完全非弹性碰撞动能损失最多，计算出这两种情况下的临界速度，那么其他碰撞应该介于二者之间。

5． 类碰撞问题

6． 子弹打木块

(1)动量守恒：由于爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒。

(2)动能增加：在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸前后系统的总动能增加。

(3)位置不变：爆炸的时间极短，因而作用过程中，物体产生的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动。

14．对反冲现象的三点说明

(1)系统内的不同部分在强大内力作用下向相反方向运动，通常用动量守恒来处理。

(2)反冲运动中，由于有其他形式的能转变为机械能，所以系统的总机械能增加。

(3)反冲运动中平均动量守恒。

15．人船模型

【问题】质量是M，长为L的船停在静止水中，若质量为m的人，由船头走向船尾时，人行走的位移和船的位移是多少？

【解析】不考虑水的粘滞阻力，人和船组成的系统在水平方向不受外力，系统在水平方向动量守恒，则             ①

人进船退，人停船停，人由船头走向船尾的这个过程中，始终满足①式，则全过程有

   ②

又                ③

由②③得， ； S人

【条件】①动量守恒或某方向动量守恒；②总动量为零。

【结论】速度、位移与质量成反比： ； S人

【类人船模型】

16．反冲模型和类碰撞模型的比较

17．(多选)两个小球A、B在光滑水平面上相向运动，已知它们的质量分别是m1＝4 kg，m2＝2 kg，A的速度v1＝3 m/s(设为正)，B的速度v2＝－3 m/s，则它们发生正碰后，其速度可能分别是(　　)

A.均为1 m/s      B.＋4 m/s和－5 m/s

C.＋2 m/s和－1 m/s      D.－1 m/s和＋5 m/s

18．（多选）质量为m的小球A，沿光滑水平面以速度v0与质量为2m的静止小球B发生正碰，碰撞后小球B的速度可能是(    )

A. v0/3        B. 5v0/9         C. 2v0/3          D. 8v0/9

19．(2014·北京理综)如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速度释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。已知圆弧轨道光滑，半径R＝0.2m，A和B的质量相等，A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ＝0.2。取重力加速度g＝10m/s2。求：

(1)碰撞前瞬间A的速率v；

(2)碰撞后瞬间A和B整体的速率v′；

(3)A和B整体在桌面上滑动的距离l。

20．（2016·全国卷Ⅲ） 如图1­所示，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂直；a和b相距l，b与墙之间也相距l；a的质量为m，b的质量为m.两物块与地面间的动摩擦因数均相同，现使a以初速度v0向右滑动，此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞．重力加速度大小为g.求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件．

图1­

21．（2011天津）如图所示，圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上，轨道半径为R，MN为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A以某一初速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球B发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距N为2R。重力加速度为g，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：

（1）粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t；

（2）小球A冲进轨道时速度v的大小。

22．如图所示，质量为3m，长度为L的木块置于光滑的水平面上，质量为m的子弹以初速度v0水平向右射入木块，穿出木块时速度为2 v0/5，设木块对子弹的阻力始终保持不变．

（1）求子弹穿透木块后，木块速度的大小；

（2）求子弹穿透木块的过程中，木块滑行的距离s；

23．(2016·海南)如图1所示，物块A通过一不可伸长的轻绳悬挂在天花板下，初始时静止；从发射器(图中未画出)射出的物块B沿水平方向与A相撞，碰撞后两者粘连在一起运动；碰撞前B的速度的大小v及碰撞后A和B一起上升的高度h均可由传感器(图中未画出)测得．某同学以h为纵坐标，v2为横坐标，利用实验数据作直线拟合，求得该直线的斜率为k＝1.92 ×10－3 s2/m.已知物块A和B的质量分别为mA＝0.400 kg和mB＝0.100 kg，重力加速度大小g取9.80 m/s2.

图1

(i)若碰撞时间极短且忽略空气阻力，求hv2直线斜率的理论值k0；

(ii)求k值的相对误差δ(δ＝×100%，结果保留1位有效数字)．

24．如图所示，质量为m的小物块以水平速度v0滑上原来静止在光滑水平面上质量为M的小车上，物块与小车间的动摩擦因数为μ，小车足够长。求：

(1)    小物块相对小车静止时的速度；

(2)    从小物块滑上小车到相对小车静止所经历的时间；

(3)    从小物块滑上小车到相对小车静止时，系统产生的热量和物块相对小车滑行的距离。 

25．如图2­2­6所示，一质量为M、长为L的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M。现以地面为参考系，给A和B以大小相等、方向相反的初速度(如图)，使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板，以地面为参考系。

图2­2­6

(1)若已知A和B的初速度大小为v0，求它们最后的速度大小和方向。

(2)若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离。

26．如图10所示，固定的光滑圆弧面与质量为6 kg的小车C的上表面平滑相接，在圆弧面上有一个质量为2 kg的滑块A，在小车C的左端有一个质量为2 kg的滑块B，滑块A与B均可看做质点．现使滑块A从距小车的上表面高h＝1.25 m处由静止下滑，与B碰撞后瞬间粘合在一起共同运动，最终没有从小车C上滑出．已知滑块A、B与小车C的动摩擦因数均为μ＝0.5，小车C与水平地面的摩擦忽略不计，取g＝10 m/s2.求：

图10

(1)滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小；

(2)小车C上表面的最短长度．

27．如图所示，质量M=4kg的滑板B静止放在光滑水平面上，其右端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C到滑板左端的距离L=0.5m，这段滑板与木块A之间的动摩擦因数μ＝0.2，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑．可视为质点的小木块A以速度v0＝0.2，由滑板B左端开始沿滑板B表面向右运动．已知A的质量m=1kg，g取10m/s2 ．求：

（1）弹簧被压缩到最短时木块A的速度；

（2）木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能．

28．如图所示，两个质量均为4m的小球A和B由轻弹簧连接，置于光滑水平面上．一颗质量为m子弹，以水平速度v0射入A球，并在极短时间内嵌在其中．求：在运动过程中

（1）什么时候弹簧的弹性势能最大，最大值是多少？

（2）A球的最小速度和B球的最大速度．

29．如图6所示，两个木块的质量分别为m1＝2 kg、m2＝1 kg，中间用轻弹簧相连接，放在光滑的水平面上，且m1左侧靠一固定竖直挡板，弹簧处于自然伸长状态。某一瞬间敲击木块m2使其获得3 m/s的水平向左速度，木块m2向左压缩弹簧然后被弹簧弹回，弹回时带动木块m1运动。求：

图6

①当弹簧拉伸到最长时，弹簧的最大弹性势能是多少？

②在以后的运动过程中，木块m1速度的最大值为多少？

30．（2016春•定西校级期中）如图所示，在光滑的水平面上，有两个质量都是M的小车A和B，两车之间用轻质弹簧相连，它们以共同的速度v0向右运动，另有一质量为m=的粘性物体，从高处自由落下，正好落在A车上，并与之粘合在一起，求这以后的运动过程中，弹簧获得的最大弹性势能EP．

31．（2016·全国卷Ⅱ）如图所示，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3 m(h小于斜面体的高度)．已知小孩与滑板的总质量为m1＝30 kg，冰块的质量为m2＝10 kg，小孩与滑板始终无相对运动．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.

(i)求斜面体的质量；

(ii)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？

图1­

32．（2011春•吉安校级期中）如图所示，在光滑水平轨道上有一小车质量为2m，它下面用长为L的绳系一质量也为2m的小砂袋，系统原来处于静止．今有以水平速度V0水平射来的质量为m的子弹，它射入砂袋后并不穿出（射入时间极短）而与砂袋一起摆动．不计悬线质量，试求：

（1）子弹射入砂袋过程的发热量Q

（2）子弹和砂袋能达到的最大高度h．

33．（2012秋•新会区校级期中）如图所示，半径为R的竖直光滑半圆轨道bc与水平光滑轨道ab在b点连接，开始时可视为质点的物体A和B静止在ab上，A、B之间压缩有一处于锁定状态的轻弹簧（弹簧与A、B不连接）．某时刻解除锁定，在弹力作用下A向左运动，B向右运动，B沿轨道经过c点后水平抛出，落点p与b点间距离为2R．已知A质量为2m，B质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，求：

（1）B经c点抛出时速度的大小

（2）B经b时的速度大小及其对轨道的压力的大小

（3）锁定状态的弹簧具有的弹性势能．

34．【2015福建】如图，质量为M的小车静止在光滑的水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点，一质量为m的滑块在小车上从A点静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g。

（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力；

（2）若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车，已知滑块质量,在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，求：

1滑块运动过程中，小车的最大速度vm；

2滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小s。

35．（2015•本溪校级一模）如图所示，半径为R、内径光滑的半圆形槽的质量为M，置于光滑的水平面上，质量为m的小球自槽口A点由静止滑下．小球开始下滑时，第一次在槽的左侧用一木桩抵住，则小球第一次通过最低点后相对最低点上升的最大高度为h1，第二次在槽的右侧用一木桩抵住，则小球第一次通过最低点后相对最低点上升的最大高度为h2，求．

36．(2014·山东·39(2))如图12所示，光滑水平直轨道上两滑块A、B用橡皮筋连接，A的质量为m.开始时橡皮筋松弛，B静止，给A向左的初速度v0.一段时间后，B与A同向运动发生碰撞并粘在一起，碰撞后的共同速度是碰撞前瞬间A的速度的两倍，也是碰撞前瞬间B的速度的一半.求：

图12

(i)B的质量；

(ii)碰撞过程中A、B系统机械能的损失.

37．如图所示，光滑平行金属导轨的水平部分处于竖直向下的B=4T的匀强磁场中，两导轨间距为L=0.5m，轨道足够长。金属棒a和b的质量都为m=1kg，电阻Ra=Rb=1Ω。b棒静止于轨道水平部分，现将a棒从h=80cm高处自静止沿弧形轨道下滑，通过C点进入轨道的水平部分，已知两棒在运动过程中始终保持与导轨垂直，且两棒始终不相碰。求a、b两棒的最终速度，以及整个过程中b棒中产生的焦耳热（已知重力加速度g=10m/s2）。

39．（2014华约）在磁场中，一静核衰变成为 a，b 两核，开始分别做圆周运动。已知 a 和 b 两核圆周运动的半径和周期之比分别为 Ra∶Rb＝45∶1，T a∶T b ＝90∶117。此裂变反应质量亏损为∆𝑚。

（1）求 a 和 b 两核的电荷数之比qa/qb；

（2）求 a 和 b 两核的质量数之比 ma/mb；

（3）求静核的质量数A和电荷数q；

（4）求 a 核的动能 Eka 。

40．如图所示，静止在匀强磁场中的Li核俘获一个速度为v0＝7.7×104 m/s的中子而发生核反应， Li＋n→H＋He，若已知He的速度为v2＝2.0×104 m/s，其方向跟中子反应前的速度方向相同(已知mn＝1 u，mHe＝4 u，mH＝3 u)．求：

(1) H的速度是多大？

(2)在图中画出粒子H和He的运动轨迹，并求它们的轨道半径之比．

(3)当粒子He旋转了3周时，粒子H旋转几周？