平面向量的数量积教学设计

课题引入

问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响功的大小？如何精确给出数学中的定义？

力做的功：W = |F||s|cos，

是F与s的夹角

教师提出问题，学生思考

定义形成

问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算

一、两个非零向量夹角的概念

已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角

说明：（1）当θ＝０时，与同向；

（2）当θ＝π时，与反向；

（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围为0≤≤180

C

二、平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有 = ||||cos，（０≤θ≤π），规定与任何向量的数量积为0

三、向量投影的定义：

作图

定义：||cos叫做向量在所方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时正射影为0；当 = 0时投影为||；当 = 180时投影为||

注意：

1.两向量必须同起点；

2.的取值范围；

3.数量积的定义公式形式；

4.注意特殊向量零向量。

学生主导发现问题，教师引导提出和解决问题。

注意：投影是可正可负可为零的。

让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性。

教学中，学生不太容易理解的，也不经常用到的概念，变作例题形式有利于加深印象

定义深化

结论：两个向量的数量积的性质：

设、为两个非零向量，是与同向的单位向量

1、 =  =||cos    2、  = 0

3、  = ||2或

4、cos =     5、|| ≤ ||||

学生自己回顾、探索、根据已有知识得到问题的答案

养成学生自己动脑、动手探索总结的习惯

应用举例

例2、

练习1、已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥

③与的夹角是60°时，分别求·

练习２、判断正确与错误

1．若=，则对任一向量，有·=0;2．若≠，则对任一非零向量,有·≠0;3．若≠，·=0，则=;4．若·=0，则·中至少有一个为;5．若≠，·= ·，则=;6．若·=·,则≠,当且仅当=  时成立;7．对任意向量有

练习：P106 练习1.2.3（分组做）

学生自己动手简单应用以及总结数量积的运算规律（类比多项式的运算）

让学生由理论到实际操作，逐步熟悉、深入