2011全国高考文科数学试卷及答案完整版(全国卷)

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。    

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

1．设集合U= U=,则

 ,  则 

    A．      B．      

C．       D． 

2．函数的反函数为的反函数为

    A．            B． 

    C．            D． 

3．权向量a,b满足 ,则,则

    A．       B．       

C．       D． 

4．若变量x、y满足约束条件，则的最小值为

    A．17          B．14            C．5             D．3

5．下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是

    A．        B．    

    C．        D． 

6．设为等差数列的前n项和，若，公差为，则k=

    A．8    B．7    

C．6    D．5

7．设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于

    A．        B．         

C．        D． 

8．已知二面角，点C为垂足，点，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=

    A．2    B．    

C．    D．1

9．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有

    A．12种    B．24种    

C．30种    D．36种

10．设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时， =，则=

    A．-        B．       

C．       D． 

11．11．设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=

    A．4       B．      

C．8        D． 

12．已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成，二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为

    A．       B．       

C．       D． 

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作答无效）

13．（1-）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为:       ．

14．已知a∈（），=       

15．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为          。

16．已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| =        ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效）

设等比数列的前n项和为,已知求和

18．（本小题满分2分）（注意：在试题卷上作答无效）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若

19．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）

        根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互。

   （I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率；

   （II）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

20．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形， 

．

   （I）证明：平面SAB；

   （II）求AB与平面SBC所成的角的大小。

21．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数

   （I）证明：曲线处的切线过点（2，2）；

   （II）若处取得极小值，，求a的取值范围。

22．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足

（Ⅰ）证明：点P在C上；

   （II）设点P关于O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。

参

评分说明：

    1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

    2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给力，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

    3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

    4．只给整数分数，选择题不给中间分。

一、选择题

1—6  DBBCAD  7—12  CCBACD

二、填空题

13．0  14．  15．  16．6

三、解答题

17．解：设的公比为q，由题设得

                …………3分

解得        …………6分

当

当    …………10分

18．解：

   （I）由正弦定理得        …………3分

    由余弦定理得

    故        …………6分

   （II）

            …………8分

    故

            …………12分

19．解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

    B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

    C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

    D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

    E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。

   （I）        …………3分

            …………6分

   （II）    …………9分

            …………12分

20．解法一：

   （I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，

    连结SE，则

    又SD=1，故，

    所以为直角。        …………3分

    由，

    得平面SDE，所以。

    SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

    所以平面SAB。        …………6分

   （II）由平面SDE知，

    平面平面SED。

    作垂足为F，则SF平面ABCD，

    作，垂足为G，则FG=DC=1。

    连结SG，则，

    又，

    故平面SFG，平面SBC平面SFG。    …………9分

    作，H为垂足，则平面SBC。

    ，即F到平面SBC的距离为

    由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有

    设AB与平面SBC所成的角为α，

    则        …………12分

    解法二：

    以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。

设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。

又设

   （I），，

由得

故x=1。

由

又由

即        …………3分

于是，

故

所以平面SAB。

   （II）设平面SBC的法向量，

则

又

故        …………9分

取p=2得。

故AB与平面SBC所成的角为

21．解：（I）        …………2分

由得曲线处的切线方程为

由此知曲线处的切线过点（2，2）    …………6分

   （II）由

   （i）当没有极小值；

   （ii）当得

故由题设知

当时，不等式无解。

当时，解不等式

综合（i）（ii）得a的取值范围是    …………12分

22．解：（I）F（0，1），的方程为，

代入并化简得

            …………2分

设

则

由题意得

所以点P的坐标为

经验证，点P的坐标为满足方程

故点P在椭圆C上。        …………6分

   （II）由和题设知， 

PQ的垂直一部分线的方程为

        ①

设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为

        ②

由①、②得的交点为。    …………9分

故|NP|=|NA|。

又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，

所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，

由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上    …………12分