椭圆焦点三角形面积

广西南宁外国语学校  隆光诚（邮政编码530007）

定理  P

在椭圆（＞＞0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点，，则.

证明：记，由椭圆的第一定义得

在△中，由余弦定理得： 

配方得： 

即

由任意三角形的面积公式得：

.

同理可证，在椭圆（＞＞0）中，公式仍然成立.

典题妙解

例1   若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求

△的面积.

解法一：在椭圆中，而记

点P在椭圆上，

由椭圆的第一定义得： 

在△中，由余弦定理得： 

配方，得： 

从而

解法二：在椭圆中，而

解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！

例2  已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则△的面积为（    ）

A.               B.                C.                D. 

解：设，则， 

故选答案A.

例3（04湖北）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上. 若P、、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（    ）

A.                  B.                 C.               D.或

解：若或是直角顶点，则点P到轴的距离为半通径的长；若P是直角顶点，设点P到轴的距离为h，则，又

，故答案选D.

金指点睛

1. 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（   ）

     A.  20               B. 22                  C. 28                 D. 24

2. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当△的面积为1时，的值为（    ）

   A. 0                   B.  1                  C.  3                  D.  6

3. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当△的面积最大时，的值为（    ）

   A. 0                   B.  2                  C.  4                  D.  

4．已知椭圆（＞1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，则的值为（    ）

A．1                    B．                     C．                    D． 

5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程.

6．已知椭圆的中心在原点，、为左右焦点，P为椭圆上一点，且，△的面积是，准线方程为，求椭圆的标准方程.

参

1. 解：， .

故答案选D.

2. 解：设， ， ，.

故答案选A.

3. 解：，设， ，

当△的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，，

.

故答案选D.

4． 解：，，

又，

，从而.

故答案选C.

5. 解：设，则. ，

又，

，即.

解得：.

所求椭圆的标准方程为或.

6．解：设， .

， .

又，即.

或.

当时，这时椭圆的标准方程为；

当时，这时椭圆的标准方程为；

但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，为最大，不合题意.

故所求的椭圆的标准方程为.