2014全国新课标卷Ⅰ(理科数学)精准解析

1．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝(　　)

A．[－2，－1]  B．[－1，2)

B．[－1，1]  D．[1，2)

1．A　[解析] 集合A＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A∩B＝[－2，－1]．

2．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] ＝(　　)

A．1＋i  B．1－i

C．－1＋i  D．－1－i

2．D　[解析] ＝＝＝－1－i.

3．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

3．C　[解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.

4．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)

A.  B．3

C.m  D．3m

4．A　[解析] 双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0.根据双曲线方程得a2＝3m，b2＝3，所以c＝，双曲线的右焦点坐标为(，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为＝.

5．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

5．D　[解析] 每位同学有2种选法，基本事件的总数为24＝16，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－＝.

图11

6．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　)

　　　 A　 　　　 　　　　　B

　　　 C　 　　　　　　　　D

6．C　[解析] 根据三角函数的定义，点M(cos x，0)，△OPM的面积为|sin xcos x|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)＝|sin xcos x|＝|sin 2x|，且当x＝时上述关系也成立， 故函数f(x)的图像为选项C中的图像．

7．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 执行如图12所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝(　　)

图12

A.  B.  C.  D.

7．D　[解析] 逐次计算，依次可得：M＝，a＝2，b＝，n＝2；M＝，a＝，b＝，n＝3；M＝，a＝，b＝，n＝4.此时输出M，故输出的是.

8．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)

A．3α－β＝  B．3α＋β＝

C．2α－β＝  D．2α＋β＝

8．C　[解析] tan α＝＝＝

＝＝tan，因为β∈，所以＋∈，又α∈且tan α＝tan，所以α＝，即2α－β＝.

9．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组的解集记为D，有下面四个命题：

p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，

p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，

p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，

p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.

其中的真命题是(　　)

A．p2，p3  B．p1，p2

C．p1，p4  D．p1，p3

9．B　[解析] 不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且zmin＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假．

10．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(　　)

A.  B．3

C.  D．2

10．B　[解析] 由题知F(2，0)，设P(－2，t)，Q(x0，y0)，则FP＝(－4，t)，＝(x0－2，y0)，由FP＝4FQ，得－4＝4(x0－2)，解得x0＝1，根据抛物线定义得|QF|＝x0＋2＝3.

11．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)

A．(2，＋∞)  B．(1，＋∞)

C．(－∞，－2)  D．(－∞，－1)

11．C　[解析] 当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a≠0.

由f′(x)＝3ax2－6x＝0，得x＝0或x＝.

若a<0，则函数f(x)的极大值点为x＝0，且f(x)极大值＝f(0)＝1，极小值点为x＝，且f(x)极小值＝f＝，此时只需>0，即可解得a<－2；

若a>0，则f(x)极大值＝f(0)＝1>0，此时函数f(x)一定存在小于零的零点，不符合题意．

综上可知，实数a的取值范围为(－∞，－2)．

12．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 如图13，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)

图13

A．6   B．6  C．4   D．4

12．B　[解析] 该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E　CC1D1(其中E为BB1的中点)，其中最长的棱为D1E＝＝6.

13．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)

13．－20　[解析] (x＋y)8的展开式中xy7的系数为C＝8，x2y6的系数为C＝28，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y8的系数为8－28＝－20.

14．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

14．A　[解析] 由于甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A城市．

15．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．

15．90°　[解析] 由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在△ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90°.

16．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．

16.　[解析] 根据正弦定理和a＝2可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，故得b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理得cos A＝＝，所以A＝.根据b2＋c2－a2＝bc及基本不等式得bc≥2bc－a2，即bc≤4，所以△ABC面积的最大值为×4×＝.

17．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

(1)证明：an＋2－an＝λ.

(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

17．解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，

两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.

因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.

(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1，

由(1)知，a3＝λ＋1.

若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.

由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，

a2n－1＝4n－3；

{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.

所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.

因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．

18．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图14所示的频率分布直方图：

图14

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.

(i)利用该正态分布，求P(187.8(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX.

附：≈12.2.

若Z～N(μ，σ2)，则p(μ－σp(μ－2σ18．解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为

＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

(2)(i)由(1)知，Z～N(200，150)，从而P(187.8(ii)由(i)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以EX＝100×0.682 6＝68.26.

19．G5、G11[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 如图15，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.

图15

(1)证明：AC＝AB1；

(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A A1B1 C1的余弦值．

19．解：(1)证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．

又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.

由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.

又B1O＝CO，故AC＝AB1.

(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.

又因为AB＝BC，所以△BOA≌ △BOC.故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直．

以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O　xyz.

因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又AB＝BC，则A，B(1，0，0)，B1，C.

＝，

＝AB＝，

1＝BC＝.

设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则

即

所以可取n＝(1，，)．

设m是平面A1B1C1的法向量，

则

同理可取m＝(1，－，)．

则cos〈n，m〉＝＝.

所以结合图形知二面角A A1B1  C1的余弦值为.

20．、、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

20．解：(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.

又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.

故E的方程为＋y2＝1.

(2)当l⊥x轴时不合题意，

故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，

当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，

x1，2＝，

从而|PQ|＝|x1－x2|

＝.

又点O到直线l的距离d＝.

所以△OPQ的面积

S△OPQ＝d·|PQ|＝.

设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.

因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，满足Δ>0，

所以，当△OPQ的面积最大时，k＝±，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.

21．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.

(1)求a，b；

(2)证明：f(x)>1.

21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1.

由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故a＝1，b＝2.

(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，

从而f(x)>1等价于xln x>xe－x－.

设函数g(x)＝xln x，

则g′(x)＝1＋ln x，

所以当x∈时，g′(x)<0；

当x∈时，g′(x)>0.

故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.

设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．

所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.

故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.

因为gmin(x)＝g＝h(1)＝hmax(x)，

所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.

22．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修41：几何证明选讲

如图16，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.

图16

(1)证明：∠D＝∠E；

(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．

22．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.

(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．

又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，

所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.

又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．

23．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修44：坐标系与参数方程

已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

23．解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)，

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离

d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，

则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，

其中α为锐角，且tan α＝.

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

24．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修45：不等式选讲

若a>0，b>0，且＋＝.

(1)求a3＋b3的最小值．

(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由.24.解：(1)由＝＋≥，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立．

故a3＋b3≥2≥4 ，当且仅当a＝b＝ 时等号成立．

所以a3＋b3的最小值为4.

(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.

由于4>6，从而不存在a，b，使2a＋3b＝6.