一、选择题(本大题共14小题,每小题3分,共42分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．(3分)(2015•临沂)的绝对值是( )
| A． | B． | C． | 2 | D． | ﹣2 |
2．(3分)(2015•临沂)如图,直线a∥b,∠1=60°,∠2=40°,则∠3等于( )
| A． | 40° | B． | 60° | C． | 80° | D． | 100° |
3．(3分)(2015•临沂)下列计算正确的是( )
| A． | a2+a2=2a4 | B． | (﹣a2b)3=﹣a6b3 | C． | a2•a3=a6 | D． | a8÷a2=a4 |
4．(3分)(2015•临沂)某市6月某周内每天的最高气温数据如下(单位:℃):
24 26 29 26 29 32 29
则这组数据的众数和中位数分别是( )
| A． | 29,29 | B． | 26,26 | C． | 26,29 | D． | 29,32 |
5．(3分)(2015•临沂)如图所示,该几何体的主视图是( )
| A． | B． | C． | D． |
6．(3分)(2015•临沂)不等式组的解集,在数轴上表示正确的是( )
| A． | B． | C． | D． |
7．(3分)(2015•临沂)一天晚上,小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时,突然停电了,小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起,则其颜色搭配一致的概率是( )
| A． | B． | C． | D． | 1 |
8．(3分)(2015•临沂)如图A,B,C是⊙O上的三个点,若∠AOC=100°,则∠ABC等于( )
| A． | 50° | B． | 80° | C． | 100° | D． | 130° |
9．(3分)(2015•临沂)多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是( )
| A． | x﹣1 | B． | x+1 | C． | x2﹣1 | D． | (x﹣1)2 |
10．(3分)(2015•临沂)已知甲、乙两地相距20千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶时间t(单位:小时)关于小时速度v(单位:千米/小时)的函数关系式是( )
| A． | t=20v | B． | t= | C． | t= | D． | t= |
11．(3分)(2015•临沂)观察下列关于x的单项式,探究其规律:
x,3x2,5x3,7x4,9x5,11x6,…
按照上述规律,第2015个单项式是( )
| A． | 2015x2015 | B． | 4029x2014 | C． | 4029x2015 | D． | 4031x2015 |
12．(3分)(2015•临沂)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
| A． | AB=BE | B． | DE⊥DC | C． | ∠ADB=90° | D． | CE⊥DE |
13．(3分)(2015•临沂)要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是( )
| A． | 向左平移1个单位,再向上平移2个单位 | |
| B． | 向左平移1个单位,再向下平移2个单位 | |
| C． | 向右平移1个单位,再向上平移2个单位 | |
| D． | 向右平移1个单位,再向下平移2个单位 |
14．(3分)(2015•临沂)在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点,若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,则b的取值范围是( )
| A． | b＞2 | B． | ﹣2＜b＜2 | C． | b＞2或b＜﹣2 | D． | b＜﹣2 |
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
15．(3分)(2015•临沂)比较大小:2 (填“＜”、“=”、“＞”)．
16．(3分)(2015•临沂)计算:﹣= ．
17．(3分)(2015•临沂)如图,在▱ABCD中,连接BD,AD⊥BD,AB=4,sinA=,则▱ABCD的面积是 ．
18．(3分)(2015•临沂)如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,则= ．
19．(3分)(2015•临沂)定义:给定关于x的函数y,对于该函数图象上任意两点(x1,y1),(x2,y2),当x1＜x2时,都有y1＜y2,称该函数为增函数,根据以上定义,可以判断下面所给的函数中,是增函数的有 (填上所有正确答案的序号)
①y=2x；②y=﹣x+1；③y=x2(x＞0)；④y=﹣．
三、解答题(本大题共7小题,共63分)
20．(7分)(2015•临沂)计算:(+﹣1)(﹣+1)
21．(7分)(2015•临沂)“保护环境,人人有责”,为了了解某市的空气质量情况,某校环保兴趣小组,随机抽取了2014年内该市若干天的空气质量情况作为样本进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)．
请你根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)补全条形统计图；
(2)估计该市这一年(365天)空气质量达到“优”和“良”的总天数；
(3)计算随机选取这一年内某一天,空气质量是“优”的概率．
22．(7分)(2015•临沂)小强从自己家的阳台上,看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42m,这栋楼有多高？
23．(9分)(2015•临沂)如图,点O为Rt△ABC斜边AB上一点,以OA为半径的⊙O与BC切于点D,与AC交于点E,连接AD．
(1)求证:AD平分∠BAC；
(2)若∠BAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积(结果保留π)．
24．(9分)(2015•临沂)新农村社区改造中,有一部分楼盘要对外销售,某楼盘共23层,销售价格如下:第八层楼房售价为4000元/米2,从第八层起每上升一层,每平方米的售价提高50元；反之,楼层每下降一层,每平方米的售价降低30元,已知该楼盘每套楼房面积均为120米2．
若购买者一次性付清所有房款,开发商有两种优惠方案:
方案一:降价8%,另外每套楼房赠送a元装修基金；
方案二:降价10%,没有其他赠送．
(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23,x取整数)之间的函数关系式；
(2)老王要购买第十六层的一套楼房,若他一次性付清购房款,请帮他计算哪种优惠方案更加合算．
25．(11分)(2015•临沂)如图1,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE．
(1)请判断:AF与BE的数量关系是 ,位置关系是 ；
(2)如图2,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；
(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．
26．(13分)(2015•临沂)在平面直角坐标系中,O为原点,直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A,与直线y=﹣x交于点B,点B关于原点的对称点为点C．
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式；
(2)P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q．
①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t(﹣1＜t＜1),当t为何值时,四边形PBQC面积最大？并说明理由．
2015年山东省临沂市中考数学试卷
参与试题解析
一、选择题(本大题共14小题,每小题3分,共42分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．(3分)(2015•临沂)的绝对值是( )
| A． | B． | C． | 2 | D． | ﹣2 |
| 考点: | 绝对值．菁优网版权所有 |
| 分析: | 根据负数的绝对值等于它的相反数解答． |
| 解答: | 解:﹣的绝对值是． 故选:A． |
| 点评: | 本题考查了绝对值,一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． |
2．(3分)(2015•临沂)如图,直线a∥b,∠1=60°,∠2=40°,则∠3等于( )
| A． | 40° | B． | 60° | C． | 80° | D． | 100° |
| 考点: | 平行线的性质．菁优网版权所有 |
| 分析: | 根据对顶角相等和利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． |
| 解答: | 解:如图: ∵∠4=∠2=40°,∠5=∠1=60°, ∴∠3=180°﹣60°﹣40°=80°, 故选C． |
| 点评: | 本题考查了平行线的性质,三角形的内角和定理,熟记性质并准确识图理清各角度之间的关系是解题的关键． |
3．(3分)(2015•临沂)下列计算正确的是( )
| A． | a2+a2=2a4 | B． | (﹣a2b)3=﹣a6b3 | C． | a2•a3=a6 | D． | a8÷a2=a4 |
| 考点: | 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有 |
| 分析: | 根据同底数幂的乘除法、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方进行计算即可． |
| 解答: | 解:A、a2+a2=2a2B,故A错误； B、(﹣a2b)3=﹣a6b3,故B正确； C、a2•a3=a5,故C错误； D、a8÷a2=a6,故D错误； 故选B． |
| 点评: | 本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方,是基础知识要熟练掌握． |
4．(3分)(2015•临沂)某市6月某周内每天的最高气温数据如下(单位:℃):
24 26 29 26 29 32 29
则这组数据的众数和中位数分别是( )
| A． | 29,29 | B． | 26,26 | C． | 26,29 | D． | 29,32 |
| 考点: | 众数；中位数．菁优网版权所有 |
| 分析: | 根据中位数和众数的定义求解:众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数． |
| 解答: | 解:将这组数据从小到大的顺序排列24,26,26,29,29,29,32, 在这一组数据中29是出现次数最多的,故众数是29℃． 处于中间位置的那个数是29,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是29℃； 故选A． |
| 点评: | 本题为统计题,考查中位数与众数的意义,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错． |
5．(3分)(2015•临沂)如图所示,该几何体的主视图是( )
| A． | B． | C． | D． |
| 考点: | 简单几何体的三视图．菁优网版权所有 |
| 分析: | 主视图是从物体正面看,所得到的图形． |
| 解答: | 解:从正面看可得到一个长方形,中间有一条竖线, 故选:D, |
| 点评: | 本题考查了几何体的三种视图,掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． |
6．(3分)(2015•临沂)不等式组的解集,在数轴上表示正确的是( )
| A． | B． | C． | D． |
| 考点: | 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．菁优网版权所有 |
| 分析: | 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,并在数轴上表示出来即可． |
| 解答: | 解:, 由①得,x＞﹣3, 由②得,x≤2, 故不等式组的解集为:﹣3＜x≤2． 在数轴上表示为: ． 故选C． |
| 点评: | 本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集,熟知“小于向左,大于向右”是解答此题的关键． |
7．(3分)(2015•临沂)一天晚上,小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时,突然停电了,小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起,则其颜色搭配一致的概率是( )
| A． | B． | C． | D． | 1 |
| 考点: | 列表法与树状图法．菁优网版权所有 |
| 分析: | 根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能,分别列出搭配正确和搭配错误的可能,进而求出概率即可． |
| 解答: | 解:用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下:Aa、Ab、Ba、Bb 所以颜色搭配正确的概率是； 故选B． |
| 点评: | 此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=． |
8．(3分)(2015•临沂)如图A,B,C是⊙O上的三个点,若∠AOC=100°,则∠ABC等于( )
| A． | 50° | B． | 80° | C． | 100° | D． | 130° |
| 考点: | 圆周角定理．菁优网版权所有 |
| 分析: | 首先在上取点D,连接AD,CD,由圆周角定理即可求得∠D的度数,然后由圆的内接四边形的性质,求得∠ABC的度数． |
| 解答: | 解:如图,在优弧上取点D,连接AD,CD, ∵∠AOC=100°, ∴∠ADC=∠AOC=50°, ∴∠ABC=180°﹣∠ADC=130°． 故选D． |
| 点评: | 本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． |
9．(3分)(2015•临沂)多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是( )
| A． | x﹣1 | B． | x+1 | C． | x2﹣1 | D． | (x﹣1)2 |
| 考点: | 公因式．菁优网版权所有 |
| 分析: | 分别将多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1进行因式分解,再寻找它们的公因式． |
| 解答: | 解:mx2﹣m=m(x﹣1)(x+1), x2﹣2x+1=(x﹣1)2, 多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是(x﹣1)． 故选:A． |
| 点评: | 本题主要考查公因式的确定,先利用提公因式法和公式法分解因式,然后再确定公共因式． |
10．(3分)(2015•临沂)已知甲、乙两地相距20千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶时间t(单位:小时)关于小时速度v(单位:千米/小时)的函数关系式是( )
| A． | t=20v | B． | t= | C． | t= | D． | t= |
| 考点: | 根据实际问题列反比例函数关系式．菁优网版权所有 |
| 分析: | 根据路程=时间×速度可得vt=20,再变形可得t=． |
| 解答: | 解:由题意得:vt=20, t=, 故选:B． |
| 点评: | 此题主要考查了由实际问题抽象出反比例函数解析式,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系． |
11．(3分)(2015•临沂)观察下列关于x的单项式,探究其规律:
x,3x2,5x3,7x4,9x5,11x6,…
按照上述规律,第2015个单项式是( )
| A． | 2015x2015 | B． | 4029x2014 | C． | 4029x2015 | D． | 4031x2015 |
| 考点: | 单项式．菁优网版权所有 |
| 专题: | 规律型． |
| 分析: | 系数的规律:第n个对应的系数是2n﹣1． 指数的规律:第n个对应的指数是n． |
| 解答: | 解:根据分析的规律,得 第2015个单项式是4029x2015． 故选C． |
| 点评: | 此题考查单项式问题,分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键． |
12．(3分)(2015•临沂)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
| A． | AB=BE | B． | DE⊥DC | C． | ∠ADB=90° | D． | CE⊥DE |
| 考点: | 矩形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有 |
| 分析: | 先证明四边形ABCD为平行四边形,再根据矩形的判定进行解答． |
| 解答: | 解:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC,且AD=BC, 又∵AD=DE, ∴BE∥BC,且BE=BC, ∴四边形BCED为平行四边形, A、∵AB=BE,DE=AD,∴BD⊥AE,∴▱DBCE为矩形,故本选项错误； B、∵DE⊥DC,∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°,∴四边形DBCE不能为矩形,故本选项正确； C、∵∠ADB=90°,∴∠EDB=90°,∴▱DBCE为矩形,故本选项错误； D、∵CE⊥DE,∴∠CED=90°,∴▱DBCE为矩形,故本选项错误． 故选B． |
| 点评: | 本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定,首先判定四边形ABCD为平行四边形是解题的关键． |
13．(3分)(2015•临沂)要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是( )
| A． | 向左平移1个单位,再向上平移2个单位 | |
| B． | 向左平移1个单位,再向下平移2个单位 | |
| C． | 向右平移1个单位,再向上平移2个单位 | |
| D． | 向右平移1个单位,再向下平移2个单位 |
| 考点: | 二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有 |
| 分析: | 原抛物线顶点坐标为(﹣1,2),平移后抛物线顶点坐标为(0,0),由此确定平移规律． |
| 解答: | 解:y=x2+2x+3=(x+1)2+2,该抛物线的顶点坐标是(﹣1,2),抛物线y=x2的顶点坐标是(0,0), 则平移的方法可以是:将抛物线y=x2+2x+3向左平移1个单位,再向上平移2个单位． 故选:A． |
| 点评: | 本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移,寻找平移方法． |
14．(3分)(2015•临沂)在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点,若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,则b的取值范围是( )
| A． | b＞2 | B． | ﹣2＜b＜2 | C． | b＞2或b＜﹣2 | D． | b＜﹣2 |
| 考点: | 反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 |
| 分析: | 联立两函数解析式消去y可得x2﹣bx+1=0,由直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,得到方程x2﹣bx+1=0有两个不相等的实数根,根据根的判别式可得结果． |
| 解答: | 解:解方程组得:x2﹣bx+1=0, ∵直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点, ∴方程x2﹣bx+1=0有两个不相等的实数根, ∴△=b2﹣4＞0, ∴b＞2,或b＜﹣2, 故选C． |
| 点评: | 本题主要考查函数的交点问题,把两函数图象的交点问题转化成一元二次方程根的问题是解题的关键． |
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
15．(3分)(2015•临沂)比较大小:2 ＞ (填“＜”、“=”、“＞”)．
| 考点: | 实数大小比较．菁优网版权所有 |
| 分析: | 利用的取值范围进而比较得出即可． |
| 解答: | 解:∵1＜＜2, ∴2＞． 故答案为:＞． |
| 点评: | 此题主要考查了实数比较大小,得出的取值范围是解题关键． |
16．(3分)(2015•临沂)计算:﹣= ．
| 考点: | 分式的加减法．菁优网版权所有 |
| 分析: | 为同分母,通分,再将分子因式分解,约分． |
| 解答: | 解:=﹣==, 故答案为:． |
| 点评: | 本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中,如果是同分母分式,那么分母不变,把分子直接相加减即可；如果是异分母分式,则必须先通分,把异分母分式化为同分母分式,然后再相加减． |
17．(3分)(2015•临沂)如图,在▱ABCD中,连接BD,AD⊥BD,AB=4,sinA=,则▱ABCD的面积是 3 ．
| 考点: | 平行四边形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有 |
| 分析: | 先由三角函数求出BD,再根据勾股定理求出AD,▱ABCD的面积=AD•BD,即可得出结果． |
| 解答: | 解:∵AD⊥BD, ∴∠ADB=90°, ∵AB=4,sinA=, ∴BD=AB•sinA==4×=3, ∴AD===, ∴▱ABCD的面积=AD•BD=3； 故答案为:3． |
| 点评: | 本题考查了平行四边形的性质、三角函数、勾股定理以及平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键． |
18．(3分)(2015•临沂)如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,则= 2 ．
| 考点: | 三角形的重心；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 分析: | 根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式进行计算即可求解． |
| 解答: | 证明:∵△ABC的中线BD、CE相交于点O, ∴点O是△ABC的重心, ∴=2． 故答案为:2． |
| 点评: | 本题主要考查了三角形的重心的性质,熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键． |
19．(3分)(2015•临沂)定义:给定关于x的函数y,对于该函数图象上任意两点(x1,y1),(x2,y2),当x1＜x2时,都有y1＜y2,称该函数为增函数,根据以上定义,可以判断下面所给的函数中,是增函数的有 ①③ (填上所有正确答案的序号)
①y=2x；②y=﹣x+1；③y=x2(x＞0)；④y=﹣．
| 考点: | 二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．菁优网版权所有 |
| 专题: | 新定义． |
| 分析: | 根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行分析即可得到答案． |
| 解答: | 解:y=2x,2＞0,∴①是增函数； y=﹣x+1,﹣1＜0,∴②不是增函数； y=x2,当x＞0时,是增函数,∴③是增函数； y=﹣,在每个象限是增函数,因为缺少条件,∴④不是增函数． 故答案为:①③． |
| 点评: | 本题考查的是一次函数、二次函数、反比例函数的性质,掌握各种函数的性质以及条件是解题的关键． |
三、解答题(本大题共7小题,共63分)
20．(7分)(2015•临沂)计算:(+﹣1)(﹣+1)
| 考点: | 实数的运算．菁优网版权所有 |
| 专题: | 计算题． |
| 分析: | 先根据平方差公式展开得到原式=[+(﹣1)][﹣(﹣1)]=()2﹣(﹣1)2,再根据完全平方公式展开后合并即可． |
| 解答: | 解:原式=[+(﹣1)][﹣(﹣1)] =()2﹣(﹣1)2=3﹣(2﹣2+1) =3﹣2+2﹣1 =2． |
| 点评: | 本题考查了实数的运算:先进行乘方或开方运算,再进行乘除运算,然后进行加减运算． |
21．(7分)(2015•临沂)“保护环境,人人有责”,为了了解某市的空气质量情况,某校环保兴趣小组,随机抽取了2014年内该市若干天的空气质量情况作为样本进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)．
请你根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)补全条形统计图；
(2)估计该市这一年(365天)空气质量达到“优”和“良”的总天数；
(3)计算随机选取这一年内某一天,空气质量是“优”的概率．
| 考点: | 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．菁优网版权所有 |
| 分析: | (1)根据良的天数除以量所占的百分比,可得样本容量,根据样本容量乘以轻度污染所占的百分比,可得答案； (2)根据一年的时间乘以优良所占的百分比,可得答案； (3)根据根据一年中优的天数比上一年的天数,可得答案． |
| 解答: | 解:(1)样本容量3÷5%=60, 60﹣12﹣36﹣3﹣2﹣1=6, 条形统计图如图: (2)这一年空气质量达到“优”和“良”的总天数为: 365×=292； (3)随机选取这一年内某一天,空气质量是“优”的概率为:=． |
| 点评: | 本题考查的是条形图和扇形图以及用样本估计总体、概率的计算,从条形图和扇形图中获取正确的信息是解题的关键,注意概率公式的正确运用． |
22．(7分)(2015•临沂)小强从自己家的阳台上,看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42m,这栋楼有多高？
| 考点: | 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有 |
| 分析: | 求这栋楼的高度,即BC的长度,根据BC=BD+DC,在Rt△ABD和Rt△ACD中分别求出BD,CD即可． |
| 解答: | 解:在Rt△ABD中, ∵∠BDA=90°,∠BAD=30°,AD=42m, ∴BD=ADtan30°=42×=14(m)． 在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=60°, ∴CD=ADtan60°=42×=42(m)． ∴BC=BD+CD=14+42=56(m)． 答:这栋楼的高度为56m． |
| 点评: | 本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数求解． |
23．(9分)(2015•临沂)如图,点O为Rt△ABC斜边AB上一点,以OA为半径的⊙O与BC切于点D,与AC交于点E,连接AD．
(1)求证:AD平分∠BAC；
(2)若∠BAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积(结果保留π)．
| 考点: | 切线的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有 |
| 分析: | (1)由Rt△ABC中,∠C=90°,⊙O切BC于D,易证得AC∥OD,继而证得AD平分∠CAB． (2)如图,连接ED,根据(1)中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形,则△AEM≌△DMO,则图中阴影部分的面积=扇形EOD的面积． |
| 解答: | (1)证明:∵⊙O切BC于D, ∴OD⊥BC, ∵AC⊥BC, ∴AC∥OD, ∴∠CAD=∠ADO, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ADO, ∴∠OAD=∠CAD, 即AD平分∠CAB； (2)设EO与AD交于点M,连接ED． ∵∠BAC=60°,OA=OE, ∴∠AEO是等边三角形, ∴AE=OA,∠AOE=60°, ∴AE=A0=OD, 又由(1)知,AC∥OD即AE∥OD, ∴四边形AEDO是菱形,则△AEM≌△DMO,∠EOD=60°, ∴S△AEM=S△DMO, ∴S阴影=S扇形EOD==． |
| 点评: | 此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用． |
24．(9分)(2015•临沂)新农村社区改造中,有一部分楼盘要对外销售,某楼盘共23层,销售价格如下:第八层楼房售价为4000元/米2,从第八层起每上升一层,每平方米的售价提高50元；反之,楼层每下降一层,每平方米的售价降低30元,已知该楼盘每套楼房面积均为120米2．
若购买者一次性付清所有房款,开发商有两种优惠方案:
方案一:降价8%,另外每套楼房赠送a元装修基金；
方案二:降价10%,没有其他赠送．
(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23,x取整数)之间的函数关系式；
(2)老王要购买第十六层的一套楼房,若他一次性付清购房款,请帮他计算哪种优惠方案更加合算．
| 考点: | 一次函数的应用．菁优网版权所有 |
| 分析: | (1)根据题意分别求出当1≤x≤8时,每平方米的售价应为4000﹣(8﹣x)×30元,当9≤x≤23时,每平方米的售价应为4000+(x﹣8)×50元； (2)根据购买方案一、二求出实交房款的关系式,然后分情况讨论即可确定那种方案合算． |
| 解答: | 解:(1)当1≤x≤8时,每平方米的售价应为: y=4000﹣(8﹣x)×30=30x+3760 (元/平方米) 当9≤x≤23时,每平方米的售价应为: y=4000+(x﹣8)×50=50x+3600(元/平方米)． ∴y= (2)第十六层楼房的每平方米的价格为:50×16+3600=4400(元/平方米), 按照方案一所交房款为:W1=4400×120×(1﹣8%)﹣a=485760﹣a(元), 按照方案二所交房款为:W2=4400×120×(1﹣10%)=475200(元), 当W1＞W2时,即485760﹣a＞475200, 解得:0＜a＜10560, 当W1＜W2时,即485760﹣a＜475200, 解得:a＞10560, ∴当0＜a＜10560时,方案二合算；当a＞10560时,方案一合算． |
| 点评: | 本题考查的是用一次函数解决实际问题,读懂题目信息,找出数量关系表示出各楼层的单价以及是交房款的关系式是解题的关键． |
25．(11分)(2015•临沂)如图1,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE．
(1)请判断:AF与BE的数量关系是 相等 ,位置关系是 互相垂直 ；
(2)如图2,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；
(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．
| 考点: | 四边形综合题．菁优网版权所有 |
| 分析: | (1)易证△ADE≌△DCF,即可证明AF与BE的数量关系是:AF=BE,位置关系是:AF⊥BE． (2)证明△ADE≌△DCF,然后证明△ABE≌△ADF即可证得BE=AF,然后根据三角形内角和定理证明∠AMB=90°,从而求证； (3)与(2)的解法完全相同． |
| 解答: | 解:(1)AF与BE的数量关系是:AF=BE,位置关系是:AF⊥BE． 答案是:相等,互相垂直； (2)结论仍然成立． 理由是:∵正方形ABCD中,AB=AD=CD, ∴在△ADE和△DCF中,, ∴△ADE≌△DCF, ∴∠DAE=∠CDF, 又∵正方形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°, ∴∠BAE=∠ADF, ∴在△ABE和△ADF中,, ∴△ABE≌△ADF, ∴BE=AF,∠ABM=∠DAF, 又∵∠DAF+∠BAM=90°, ∴∠ABM+∠BAM=90°, ∴在△ABM中,∠AMB=180°﹣(∠ABM+∠BAM)=90°, ∴BE⊥AF； (3)第(1)问中的结论都能成立． 理由是:∵正方形ABCD中,AB=AD=CD, ∴在△ADE和△DCF中,, ∴△ADE≌△DCF, ∴∠DAE=∠CDF, 又∵正方形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°, ∴∠BAE=∠ADF, ∴在△ABE和△ADF中,, ∴△ABE≌△ADF, ∴BE=AF,∠ABM=∠DAF, 又∵∠DAF+∠BAM=90°, ∴∠ABM+∠BAM=90°, ∴在△ABM中,∠AMB=180°﹣(∠ABM+∠BAM)=90°, ∴BE⊥AF． |
| 点评: | 本题考查了正方形和等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,证明∠BAE=∠ADF是解题的关键． |
26．(13分)(2015•临沂)在平面直角坐标系中,O为原点,直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A,与直线y=﹣x交于点B,点B关于原点的对称点为点C．
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式；
(2)P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q．
①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t(﹣1＜t＜1),当t为何值时,四边形PBQC面积最大？并说明理由．
| 考点: | 二次函数综合题．菁优网版权所有 |
| 分析: | (1)联立两直线解析式可求得B点坐标,由关于原点对称可求得C点坐标,由直线y=﹣2x﹣1可求得A点坐标,再利用待定系数法可求得抛物线解析式； (2)①当四边形PBQC为菱形时,可知PQ⊥BC,则可求得直线PQ的解析式,联立抛物线解析式可求得P点坐标；②过P作PD⊥BC,垂足为D,作x轴的垂线,交直线BC于点E,由∠PED=∠AOC,可知当PE最大时,PD也最大,用t可表示出PE的长,可求得取最大值时的t的值． |
| 解答: | 解: (1)联立两直线解析式可得,解得, ∴B点坐标为(﹣1,1), 又C点为B点关于原点的对称点, ∴C点坐标为(1,﹣1), ∵直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A, ∴A点坐标为(0,﹣1), 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c, 把A、B、C三点坐标代入可得,解得, ∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣1； (2)①当四边形PBQC为菱形时,则PQ⊥BC, ∵直线BC解析式为y=﹣x, ∴直线PQ解析式为y=x, 联立抛物线解析式可得,解得或, ∴P点坐标为(1﹣,1﹣)或(1+,1+)； ②当t=0时,四边形PBQC的面积最大． 理由如下: 如图,过P作PD⊥BC,垂足为D,作x轴的垂线,交直线BC于点E, 则S四边形PBQC=2S△PBC=2×BC•PD=BC•PD, ∵线段BC长固定不变, ∴当PD最大时,四边形PBQC面积最大, 又∠PED=∠AOC(固定不变), ∴当PE最大时,PD也最大, ∵P点在抛物线上,E点在直线BC上, ∴P点坐标为(t,t2﹣t﹣1),E点坐标为(t,﹣t), ∴PE=﹣t﹣(t2﹣t﹣1)=﹣t2+1, ∴当t=0时,PE有最大值1,此时PD有最大值,即四边形PBQC的面积最大． |
| 点评: | 本题主要考查二次函数的综合应用,涉及待定系数法、点的对称、菱形的判定和性质、三角形的面积和二次函数的最值等知识点．在(1)中求得A、B、C三点的坐标是解题的关键,在(2)①中得出直线PQ的解析式是解题的关键,在②中确定出四边形PBQC面积最大的条件是解题的关键．本题涉及知识点较多,综合性较强,其中第(2)②小题是难点． |
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