2008年山东省临沂市中考数学试卷及答案

满分:120分  时间:120分钟

一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．－的倒数是（    ）

A．  －3     B．   3     C．        D． －

2．在今年四川汶川地震抗震救灾过程中，国内外社会各界纷纷伸出援助之手，截止5月30日12时，共收到各类捐赠款物折合人民币约399亿元，这个数据用科学记数法表示为（    ）

A．  3.99×109元     B．  3.99×1010元    C．  3.99×1011元      D．  399×102元

3．下列各式计算正确的是（    ）

A．  B．   C．     D．

4．下列各图中，∠1大于∠2的结果是（    ）

5．计算的结果是（    ）

A．       B．      C．      D．   

6．化简的结果是（    ）

A．       B．      C．      D．   

7．若不等式组的解集为，则a的取值范围为（    ）

A．   a＞0    B．   a＝0    C．   a＞4   D．  a＝4  

8．“赵爽弦图”是由于四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（    ）

A．      B．         C．      D．     

9．如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是（    ）

A． 1000π㎝3    B． 1500π㎝3    

C．  2000π㎝3   D．   4000π㎝3 

10．下列说法正确的是（    ）

A．随机事件发生的可能性是50％。  

B．一组数据2，3，3，6，8，5的众数与中位数都是3。 

C．“打开电视，正在播放关于奥运火炬传递的新闻”是必然事件。   

D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定。

11．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（    ）

A．     B．       

C．      D．     

12．如图，直线与双曲线交于A、B两点，若A、B两点的坐标分别为A，B，则与的值为（    ）

A．  －8    B．    4     C．   －4   D．   0

13．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，AD为半径的圆与BC切于点M，与AB交于点E，若AD＝2，BC＝6，则的长为（    ）

A．     B．    C．     D．   

14．如图，已知正三角形ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数的图象大致是（    ）

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上。

15．分解因式：＝___________.

16．已知x、y满足方程组则x－y的值为________.

17．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为________.

18．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长________.

19．如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn＝________。

三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共3小题，共20分）

20．（本小题满分6分）

某油桃种植户今年喜获丰收，他从采摘的一批总质量为900千克的油桃中随机抽取了10个油桃，称得其质量（单位：克）分别为：

106，99，100，113，111，97，104，112，98，110。

⑴估计这批油桃中每个油桃的平均质量;

⑵若质量不小于110克的油桃可定为优级，估计这批油桃中，优级油桃占油桃总数的百分之几？达到优级的油桃有多少千克？

21．（本小题满分7分）

如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，。

⑴求证：△ABF∽△CEB;

⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。

22．（本小题满分7分）

在某道路拓宽改造工程中，一工程队承担了24千米的任务。为了减少施工带来的影响，在确保工程质量的前提下，实际施工速度是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了任务，求原计划平均改造道路多少千米？

四、认真思考，你一定能成功！（本大题共2小题，共19分）

23．（本小题满分9分）

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以AB上的一点O为圆心分别与均AC、BC相切于点D、E。

⑴求⊙O的半径；

⑵求sin∠BOC的值。

24．（本小题满分10分）

某商场欲购进A、B两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元。

⑴求y关于x的函数关系式？

⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。（注：利润＝售价－成本）

25．（本小题满分11分）

已知∠MAN，AC平分∠MAN。

⑴在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC;

⑵在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;

⑶在图3中：

①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC;

②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC（用含α的三角函数表示），并给出证明。

26．（本小题满分13分）

如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。

⑴求抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;

⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

参及评分标准：

一、ABDBA，DBCCD，BCAC；

二、15．a（3＋a）（3－a）；16．1；17．10％；18．；19．。

三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共3小题，共20分）

20．解：⑴ （克）………………………………………………………………2分

由此估计这一批油桃中，每个油桃的平均质量为105克;…………3分

⑵，…………………………………………5分

（千克）

估计这一批油桃中优级油桃占总数的40％，其质量为360千克…………6分

21．解：⑴证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AB∥CD，

∴∠ABF＝∠CEB，

∴△ABF∽△CEB. ………………………………………2分

⑵∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，ABCD，

∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，……………3分

∵,

∴, ,…………4分

∵,

∴, ,……………………………………6分

∴,

∴.…………7分

22．设原计划平均每天改造道路x千米，,根据题意，得…………1分

………………………………………………………4分

解这个方程，得x＝0.2………………………………………………6分

经检验，x＝0.2是原方程的解。

答:原计划平均每天改造道路0.2千米.…………………………7分

四、认真思考，你一定能成功！（共19分）

23．解：⑴连接OD、OE，设OD＝r.

∵AC、BC切⊙O于D、E，

∴∠ODC＝∠OEC＝90°，OD＝OE…………………………1分

解法一：又∵∠ACB＝90°，

∴四边形是ODCE正方形,……………………………………2分

∴CD＝OD＝OE＝r，OD∥BC,

∴AD＝4－r，△AOD∽△ABC，…………………………3分

∴即………………………………4分

∴.……………………………………………………5分

解法二：∵，……………………3分

∴，

即，…………………………4分

∴.……………………………………………………………………5分

⑵过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC与Rt△OEC中，根据勾股定理,得

, ,…………7分

由，得…………8分

∴,即.…………9分

24．⑴y＝（63－55）x＋（40－35）（500－x）……………3分

＝2x＋2500。即y＝2x＋2500（0≤x≤500），………………4分

⑵由题意，得55x＋35（500－x）≤20000，………………6分

解这个不等式，得x≤125，………………………………7分

∴当x＝125时,y最大值＝3×12＋2500＝2875(元),…………9分

∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元.………………………………………………………………10分

五、相信自己，加油呀！（共24分）

25．解:⑴证明:∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，

∴∠CAB＝∠CAD＝60°，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠ACB＝∠ACD＝30°，…………1分

∴AB＝AD＝AC，……………………2分

∴AB＋AD＝AC。……………………3分

⑵成立。……………………………r…4分

证法一：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F。

∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.

∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ADC＋∠CDE＝180°,

∴∠CDE＝∠ABC,………………………………………………………………5分

∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB,∴ED＝FB,……………………6分

∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE,由⑴知AF＋AE＝AC,

∴AB＋AD＝AC……………………………………………………………………7分

证法二：如图，在AN上截取AG＝AC，连接CG.

∵∠CAB＝60°,AG＝AC,∴∠AGC＝60°,CG＝AC＝AG,…………5分

∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ABC＋∠CBG＝180°,

∴∠CBG＝∠ADC,∴△CBG≌△CDA,……………………………………6分

∴BG＝AD,

∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC，…………………………………………7分

⑶①;………………………………………………………………………8分

②.………………………………………………………………………9分

证明：由⑵知，ED＝BF,AE＝AF，

在Rt△AFC中，,即,

∴,………………………………………………………………10分

∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE＝2，…………11分

26．⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），

∴设抛物线解析式为………………………………1分

根据题意，得，解得

∴抛物线的解析式为………………………………………2分

⑵存在。…………………………………………………………………………3分

由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。…………4分

①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，

得，即y＝4－x。…………………………5分

又P点(x,y)在抛物线上，∴，即…………6分

解得，，应舍去。∴。……………………7分

∴，即点P坐标为。……………………8分

②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。

∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。……………………9分

⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,

得CB＝,CD＝,BD＝,………………………………………………10分

∴,

∴∠BCD＝90°,………………………………………………………………………11分

设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，

∵CF＝DF＝1,

∴∠CDF＝45°,

由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），

∴DM∥BC,

∴四边形BCDM为直角梯形, ………………………………………………………12分

由∠BCD＝90°及题意可知，

以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;

以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。

综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。…………………………………13分