2011四川数学高考试题及答案

本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)．满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本卷和答题卡一并交回．

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

如果事件A、B相互，那么P(A·B)＝P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率

(k＝0,1,2，…，n)

球的表面积公式 S＝4πR2

其中R表示球的半径

球的体积公式 

其中R表示球的半径

第一部分　(选择题　共60分)

本部分共12小题，每小题5分，共60分．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5,15.5)　2　 [15.5,19.5)　4

[19.5,23.5)　  9　  [23.5,27.5)　  18

[27.5,31.5)　  11　  [31.5,35.5)　  12

[35.5　39.5)　  7　  [39.5　43.5)　  3

根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是(　　)

A.           B．           C．           D． 

2．复数(　　)

A．－2i           B．          C．0           D．2i

3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

4．如图，正六边形ABCDEF中， (　　)

A．0           B．             C.           D． 

5．函数f(x)在点x＝x0处有定义是f(x)在点x＝x0处连续的(　　)

A．充分而不必要的条件

B．必要而不充分的条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要的条件

6．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是(　　)

A．          B． 

C．          D． 

7．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，，则f(x)的反函数的图象大致是(　　)

8．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　)

A．0           B．3           C．8           D．11

9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝(　　)

A．4 650元           B．4 700元           C．4 900元           D．5 000元

10．在抛物线y＝x2＋ax－5(a≠0)上取横坐标为x1＝－4，x2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2＋5y2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为(　　)

A．(－2，－9)           B．(0，－5)

C．(2，－9)           D．(1，－6)

11．已知定义在[0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)＝3f(x＋2)，当x∈[0,2)时，f(x)＝－x2＋2x.设f(x)在[2n－2,2n)上的最大值为an(n∈N*)，且{an}的前n项和为Sn，则(　　)

A．3           B．           C．2           D． 

12．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α＝(a，b)．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m，则(　　)

A.           B．           C．           D． 

第二部分　(非选择题　共90分)

本部分共10小题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共 16分．

13．计算__________.

14．双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是__________．

15．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是__________．

16．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：

①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；

②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；

③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；

④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．

其中的真命题是__________．(写出所有真命题的编号)

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知函数，x∈R.

(1)求函数的最小正周期和最小值；

(2)已知，，.求证：[f(β)]2－2＝0.

18．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．

(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

 (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.

19．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1.D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1.

(1)求证：CD＝C1D；

(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；

(3)求点C到平面B1DP的距离．

20．设d为非零实数， (n∈N*)．

(1)写出a1，a2，a3并判断{an}是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；

(2)设bn＝ndan(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.

21．椭圆有两顶点A(－1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.

(1)当时，求直线l的方程；

(2)当点P异于A、B两点时，求证：为定值．

22．已知函数，.

(1)设函数F(x)＝f(x)－h(x)，求F(x)的单调区间与极值；

(2)设a∈R，解关于x的方程；

(3)试比较与的大小．

参

1．B　 2．A　3．B　 4． D　 5．B　 6．C　 7． A　 8．B　9．C　 10．A　 11． D　

12．B　

13．答案：－20

.

14．答案：16

15．答案：2πR2

16．答案：②③

17．解：

(1)∵．

∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.

(2)由已知得，

.

两式相加得2cosβcosα＝0.

∵，∴.

∴.

18．解：(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.

记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则

.

故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.

 (2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.

；

；

；

；

.

甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为

19．解：法一：(1)连结AB1与BA1交于点O，连结OD.

∵PB1∥平面BDA1，PB1⊂平面AB1P，平面AB1P∩平面BDA1＝OD，

∴OD∥PB1.

又AO＝B1O，∴AD＝PD.

又AC∥C1P，∴CD＝C1D.

(2)过A作AE⊥DA1于点E，连结BE.

∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC＝A，

∴BA⊥平面AA1C1C.

由三垂线定理可知BE⊥DA1.

∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．

在Rt△A1C1D中，.

又，∴.

在Rt△BAE中，，

∴.

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.

(3)由题意知，点C到平面B1DP的距离是点C到平面DB1A的距离，设此距离为h.

∵VC－DB1A＝VB1－ACD，

∴.

由已知可得，，，

∴在等腰△AB1P中，

.

∴.

又，∴.

故C到平面B1DP的距离等于.

法二：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)．

(1)设C1D＝x，

∵AC∥PC1，∴.

由此可得D(0,1，x)，P，

∴，，．

设平面BA1D的一个法向量为n1＝(a，b，c)，

则，令c＝－1，则n1＝(1，x，－1)．

∵PB1∥平面BA1D，

∴.

由此可得，故CD＝C1D.

(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量．

又n2＝(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，

∴.

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.

(3)∵，，

设平面B1DP的一个法向量n3＝(a1，b1，c1)，

则，令c1＝1，可得．

又．

∴C到平面B1DP的距离.

20．解：(1)由已知可得a1＝d，a2＝d(1＋d)，a3＝d(1＋d)2.

当n≥2，k≥1时，.

因此.

由此可见，当d≠－1时，{an}是以d为首项，d＋1为公比的等比数列；

当d＝－1时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}不是等比数列．

(2)由(1)可知，an＝d(d＋1)n－1，从而bn＝nd2(d＋1)n－1，

Sn＝d2[1＋2(d＋1)＋3(d＋1)2＋…＋(n－1)(d－1)n－2＋n(d＋1)n－1]．①

当d＝－1时，Sn＝d2＝1.

当d≠－1时，①式两边同乘d＋1得

(d＋1)Sn＝d2[(d＋1)＋2(d＋1)2＋…＋(n－1)(d＋1)n－1＋n(d＋1)n]．②

①②式相减可得

．

化简即得Sn＝(d＋1)n(nd－1)＋1.

综上，Sn＝(d＋1)n(nd－1)＋1.

21．解：(1)因椭圆焦点在y轴上，

设椭圆的标准方程为(a>b>0)，

由已知得b＝1，c＝1，所以，椭圆方程为.

直线l垂直于x轴时与题意不符．

设直线l的方程为y＝kx＋1，将其代入椭圆方程化简得

(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则，，

，

由已知得，解得.

所以直线l的方程为或.

(2)证明：直线l与x轴垂直时与题意不符．

设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠±1)，

所以P点坐标为．

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

由(1)知，.

直线AC的方程为，直线BD的方程为

，

将两直线方程联立，消去y得.

因为－1＜x1，x2＜1，所以与异号．

.

又，

∴与y1y2异号，与同号，

，解得x＝－k.

因此Q点坐标为(－k，y0)．

.

故为定值．

22．解：(1)由(x≥0)知，，令F′(x)＝0，得.

当时，F′(x)＜0；

当时，F′(x)>0.

故当时，F(x)是减函数；

当时，F(x)是增函数．

F(x)在处有极小值且.

 (2)原方程可化为log4(x－1)＋log2h(4－x)＝log2h(a－x)，即，

，

.

①当1＜a≤4时，原方程有一解；

②当4＜a＜5时，原方程有；

③当a＝5时，原方程有一解x＝3；

④当a≤1或a>5时，原方程无解．

 (3)由已知得.

设数列{an}的前n项和为Sn，且(n∈N*)，

从而有a1＝S1＝1，

当2≤k≤100时，.

又

，

即对任意的2≤k≤100，有ak>.

又因为，所以.

故.