指数函数、对数函数综合练习题

1．[2011·模拟]  集合A＝{(x，y)|y＝a}，集合B＝{(x，y)|y＝bx＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一个子集，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)  B．(－∞，1]    C．(1，＋∞)  D．R

2．[2011·郑州模拟]  下列说法中，正确的是(　　)

①任取x∈R都有3x>2x；②当a>1时，任取x∈R都有ax>a－x；③y＝()－x是增函数；④y＝2|x|的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图像对称于y轴．

A．①②④     B．④⑤    C．②③④       D．①⑤

3．[2011·郑州模拟]  函数y＝(0图K8－1

4．[2011·模拟]  若函数y＝2|1－x|＋m的图像与x轴有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．m≤－1    B．－1≤m＜0    C．m≥1     D．0＜m≤1

5．[2010·湖北卷]  已知函数f(x)＝则f＝(　　)

A．4     B.     C．－4        D．－

6．[2011·郑州模拟]  设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知当x∈(0,1)时，f(x)＝log(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上(　　)

A．是增函数，且f(x)<0 B．是增函数，且f(x)>0

C．是减函数，且f(x)<0 D．是减函数，且f(x)>0

7．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c8．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图像如图K8－2所示，则函数g(x)＝ax＋b的图像是(　　)

9．[2011·一模]  设0＜a＜1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)<0的x的取

值范围是(　　)

A．(－∞，0)     B．(0，＋∞)    C．(－∞，loga3)    D．(loga3，＋∞)

11．若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数，则a的取值范围为________．

12．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

13．函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M，当x∈M时，则f(x)＝2x＋2－3×4x的最大值为________．

1. 若函数 的定义域为 ,则      (      ) 

A. 为奇函数,且为上的减函数    B. 为偶函数,且为上的减函数             

 C. 为奇函数,且为上的增函数   D. 为偶函数,且为上的增函数

2.(2009山东卷)函数的图像大致为(        ).

3.[2011·辽宁卷] 设函数则满足f(x)≤ 2的x的取值范围是(　　)    A．[－1,2]  B．[0,2]  C．[1，＋∞)  D．[0，＋∞)

4.[2011·天津卷] 已知，则(　   　)

A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b

5.设，二次函数的图象可能是         （      ）

     （A）         （B）  

     （C）              （D）

6.（2009安徽卷理）设＜b,函数的图像可能是 （     ）

7.若关于x的方程x－＋k＝0在x∈(0,1]时没有实数根，则k的取值范围是__ 

8.关于x的函数y=log(x2－ax+2a)在［1，+∞上为减函数，则实数a的取值范围是           

14．(10分)(1)已知f(x)＝＋m是奇函数，求常数m的值；

(2)画出函数y＝|3x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？

15．(13分)设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数(其中e≈2.71828)．

(1)求a的值；

(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

16．(12分)定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)＝log23，且对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求证：f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

 答an

1．B　[解析] ∵y＝bx＋1>1，如果A∩B只有一个子集，则A∩B＝∅，∴a≤1.

2．B　[解析] 利用指数函数的性质判断．

3．D　[解析] x>0时，y＝ax；x<0时，y＝－ax.即把函数y＝ax(00时不变，在x<0时，沿x轴对称．

4．A　[解析] ∵|1－x|≥0，∴2|1－x|≥1.∵y＝2|1－x|＋m≥1＋m，∴要使函数y＝2|1－x|＋m的图像与x轴有公共点，则1＋m≤0，即m≤－1.

5．B　[解析] 根据分段函数可得f＝log3＝－2，则ff＝f(－2)＝2－2＝，所以B正确．

6．D　[解析] 由于x∈(0,1)时，f(x)＝log(1－x)，所以f(x)在区间(0,1)上单调递增且f(x)>0，

又因为f(x)为偶函数，所以f(x)在区间(－1,0)上单调递减且f(x)>0，又因为f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x)在区间(1,2)上递减且f(x)>0，故选D.

7．B　[解析] log3＝－log23＝－log49，b＝f＝f(－log49)＝f(log49)，log47＝2>log49.

又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

∴f(0.2－0.6)8．A　[解析] 由图形可知b<－1,09．C　[解析] f(x)<0⇔loga(a2x－2ax－2)<0⇔loga(a2x－2ax－2)1，即(ax)2－2ax＋1>4⇔(ax－1)2>4⇔ax－1>2或ax－1<－2，所以ax>3或ax<－1(舍去)，因此x10．4　[解析] 设原有的有害物质为a，则过滤n次后有害物质还有na，令n＜1%，则n＞，即n≥4，所以n的最小值为4.

11．a>1　[解析] 函数f(x)是由φ(x)＝ax2－x和y＝logaφ(x)复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法．(1)当a>1时，若使f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数，则φ(x)＝ax2－x在[2,4]上是增函数且大于零．故有解得a>，∴a>1.

(2)当a<1时，若使f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数，则φ(x)＝ax2－x在[2,4]上是减函数且大于零.不等式组无解．

综上所述，存在实数a>1使得函数f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数．

12．a>1　[解析] 设函数y＝ax(a>0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点．由图像可知，当01时，因为函数y＝ax(a>1)的图像过点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a>1.

13.　[解析] 由3－4x＋x2＞0，得x＞3或x＜1，∴M＝{x|x＞3或x＜1}．

f(x)＝－3×(2x)2＋2x＋2＝－32＋.∵x＞3或x＜1，∴2x＞8或0＜2x＜2，∴当2x＝，即x＝log2时，f(x)最大，最大值为.

14．[解答] (1)常数m＝1.(2)y＝|3x－1|的图像如下：当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像无交点，即方程无解；

当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；

当015．[解答] (1)依题意，对一切x∈R有f(x)＝f(－x)，即＋＝＋aex， 所以＝0对一切x∈R成立．

由此得到a－＝0，即a2＝1.又因为a>0，所以a＝1.

(2)证明：设0＝ex1(ex2－x1－1)·

由x1>0，x2>0，x2－x1>0，得x1＋x2>0，ex2－x1－1>0,1－ex2＋x1<0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

16．[解答] (1)证明：由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，

令x＝y＝0，得f(0)＝0.令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)f(3)＝log23>0，即f(3)>f(0)，又f(x)是R上的单调函数，所以f(x)在R上是增函数．又由(1)知f(x)是奇函数．

f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0⇔f(k·3x)0对任意x∈R恒成立．

令t＝3x>0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2>0对任意t>0恒成立．

令g(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴为t＝，

当t＝≤0，即k≤－1时，g(0)＝2>0，符合题意；

当t＝>0，即k>－1时，则需满足g>0，解得－1综上所述，当k<－1＋2时，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立．

本题还有更简捷的解法：

分离系数由k<3x＋－1，令u＝3x＋－1，u的最小值为2－1，

则要使对任意x∈R不等式k<3x＋－1恒成立，只要使k<2－1.