高二理科圆锥曲线测试题及答案

一、选择题：

1．已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（　　）

A.  抛物线          B.双曲线      　     C. 椭圆           D.以上都不对

2．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则（     ）

  A. 1或5              B. 1或9    　        C. 1             D. 9

3、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（     ）.

     A.           B.         C.      D. 

4．过点(2,-1)引直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线共有(   )条

A.  1              B.2               　C. 3              D.4

5．已知点、，动点，则点P的轨迹是 (    )

A．圆　　         B．椭圆    C．双曲线　    　D．抛物线

6．如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（   ）

A　　B　   C　　　  　D　

    7、无论为何值，方程所表示的曲线必不是（    ）

   A.  双曲线        B.抛物线  　C. 椭圆     D.以上都不对

8．方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（    ）

                     A                  B             C                D

二、填空题：

9．对于椭圆和双曲线有下列命题：

1椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;  ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;

3双曲线与椭圆共焦点;            ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.

其中正确命题的序号是              .

10．若直线与圆相切，则的值为            

11、抛物线上的点到直线的距离的最小值是                    

12、抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标             。

13、椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1中点在y轴上，

那么|PF1|是|PF2|的                         

14．若曲线的焦点为定点，则焦点坐标是        .;  

三、解答题：

15．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.（12分）

16．P为椭圆上一点，、为左右焦点，若

（1）求△的面积；    （2）求P点的坐标．（14分）

17、求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程.（14分）

18、知抛物线，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．（12分）

20、点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。

1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是________．

2．若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到该抛物线焦点的距离为________．

3．双曲线2x2－y2＋6＝0上一个点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．

4．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为

5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得＝e，则该椭圆离心率e的取值范围是________．

解析：∵＝e，∴PF1＝ePF2＝e(2a－PF1)，

PF1＝.

又a－c≤PF1≤a＋c，∴a－c≤≤a＋c，a(1－e)≤≤a(1＋e)，1－e≤≤1＋e，解得e≥－1.

又0答案：[－1,1)

(2012·四川高考)(1)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．

(2)(2011·福建高考)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于________．

解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题，一般考虑用定义，在椭圆和双曲线的方程中要注意a，b，c之间关系的区别．

(1)已知双曲线－＝1的一个焦点坐标为(－，0)，则其渐近线方程为________；

(2)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．

(2012·北京高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积为时，求k的值．

本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系．解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，一般是联立方程消元后转化为二次方程的问题．

已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1解：直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.

由抛物线定义得AB＝x1＋x2＋p＝9，

所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

(2012·南师大信息卷)已知双曲线x2－＝1，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3)．

(1)求椭圆方程；

(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.

①若AM＝MN，求∠AMB的余弦值；

②设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．

[解]　(1)双曲线焦点为(±2,0)，

设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．

则解得a2＝16，b2＝12.

故椭圆方程为＋＝1.

(2)①由已知，A(－4,0)，B(4,0)，F(2,0)，直线l的方程为x＝8.设N(8，t)(t>0)．

∵AM＝MN，∴M.

由点M在椭圆上，得t＝6.

故点M的坐标为M(2,3)．

所以＝(－6，－3)，＝(2，－3)，

·＝－12＋9＝－3.

cos ∠AMB＝＝＝－.

②设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，F，N三点坐标代入，得

得

圆的方程为x2＋y2＋2x－y－8＝0，

令x＝0，得y2－y－8＝0.

设P(0，y1)，Q(0，y2)，

由线段PQ的中点为(0,9)，得y1＋y2＝t＋＝18.

此时，所求圆的方程为x2＋y2＋2x－18y－8＝0.

本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题，主要考查待定系数法求曲线方程．

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．

解：(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即b＝＝.

因为离心率e＝＝，所以＝＝.

所以a＝2.

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝x＋1，①

直线QN的方程为y＝x＋2.  ②

设T点的坐标为(x，y)．

联立①②解得x0＝，y0＝.

因为＋＝1，所以2＋2＝1.

整理得＋＝(2y－3)2，

所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.

所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．

已知抛物线D的顶点是椭圆C：＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．

(1)求抛物线D的方程；

(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．

①若直线l的斜率为1，求MN的长；

②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

[解]　(1)由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．由a2－b2＝16－15＝1，得c＝1.

∴抛物线的焦点为(1,0)，∴p＝2.

∴抛物线D的方程为y2＝4x.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

①直线l的方程为：y＝x－4，联立

整理得x2－12x＋16＝0.

则x1＋x2＝12，x1x2＝16，

所以MN＝＝4.

②设存在直线m：x＝a满足题意，则圆心E，过E作直线x＝a的垂线，垂足为H，设直线m与圆E的一个交点为G.可得GH2＝EG2－EH2，

即GH2＝EA2－EH2＝－2

＝y＋＋a(x1＋4)－a2

＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2.

当a＝3时，GH2＝3，此时直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长恒为定值2.

因此存在直线m：x＝3满足题意．

以探究“是否存在”为目标的开放性问题，是高考的一个热点，解决此类问题的方法类似于反证法，即先假设存在并设出参数．建立方程，若有符合题意的解，则说明存在，否则说明不存在．

已知椭圆C的离心率e＝，一条准线方程为x＝4，P为准线上一动点，直线PF1、PF2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F1F2为直径的圆O交于点M、N.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)探究是否存在一定点恒在直线MN上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意得＝，＝4，解得c＝2，a＝2，

则b2＝a2－c2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由(1)易知F1F2＝4，所以圆O的方程为x2＋y2＝4.

设P(4，t)，则直线PF1方程为y＝(x＋2)，

由得(t2＋36)x2＋4t2x＋4(t2－36)＝0，

解得x1＝－2，x2＝－，

所以M，

同理可得N.

①若MN⊥x轴，则－＝，解得t2＝12，此时点M，N的横坐标都为1，故直线MN过定点(1,0)；

②若MN与x轴不垂直，即t2≠12，

此时kMN＝＝，

所以直线MN的方程为

y－＝，

即y＝(x－1)，所以直线MN过定点(1,0)．

综上，直线MN过定点(1,0)．

(1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2＋ny2＝1(mn≠0)，这样可以避免对参数的讨论．

(2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求的值．

(3)在双曲线中由于e2＝1＋，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．

1．(2012·上海春招)抛物线y2＝8x的焦点坐标为________．

2．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m的取值范围是________．

3．点P为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的焦点，如果∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率为________．

5．(2011·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为________．

6．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且＝2，则C的离心率为________．

7．(2011·江西高考)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．

8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．

解

9．设P点在圆x2＋(y－2)2＝1上移动，点Q在椭圆＋y2＝1上移动，则PQ的最大值是________．

10．(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________

11.(2011·四川高考)过点C(0,1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(－a,0)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.

(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；

(2)当点P异于点B时，求证：·为定值．

12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，一条准线l：x＝2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．

①若PQ＝，求圆D的方程；

②若M是l上的动点，求证点P在定圆上，并求该定圆的方程．