2010年全国高中数赛广西赛区预赛试题

一、选择题（每小题6分，共36分）

1、已知定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解则等于（    ）．

A．            B．            C．              D． 

2、已知集合，，，且，则整数对的个数为（    ）.

A．20        B．30        C．42       D．56

3、设，可使被7整除的正整数的个数是（    ）.

A．2857       B．2587      C．1857      D．1587

4、正四面体的棱长是,是四面体内部一点,则点到四个面的距离之和等于（    ）.

A．2        B．        C．1       D． 

5、双曲线的左、右两焦点分别为,一条过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若是正三角形，则该双曲线的离心率是（    ）.

A．    B．     C．     D． 

6、某人投掷两次骰子先后得到点数，用来作为一元二次方程的系数，则使方程有实根的概率是（     ）.

A．     B．     C．     D．

二、填空题（每小题9分，共54分）

1、已知函数，对于任意的实数、，均有    且，则的值为    .

2、已知4个正数之和为4，其平方和为8，则这4个数的最大者的最大值是_________.

3、设，且，则的取值范围是___________..

4、已知椭圆与轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使得,O为原点，则离心率的取值范围是__________.

5、设，其中为实常数，则=_________.

6、平面上有11个点，每两点连成一条直线，共得4直线，则这11个点可构成不同的三角形的个数是________.

三、解答题（每小题20分，共60分）

1、已知数列满足，求的值.

2、在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点. 已知、，是椭圆内的整点. 若，求符合条件的整点的个数.

3、已知函数具有正的极大值和负的极小值，其差为4. 

（1）求的值； （2）求的取值范围.