高等数学上学期模拟试题(一)

一、选择题：（12分）

1．设f (x)在x0处可导，g (x)在x0处不可导，那么在x0处           .

（A）f (x)+ g (x) 与 f (x)·g (x)在x0处都不可导；

（B）f (x)+ g (x) 与 f (x)·g (x)在x0处都可导；

（C）f (x)+ g (x) 未必不可导，而 f (x)·g (x)一定不可导；

（D）f (x)+ g (x) 一定不可导，而 f (x)·g (x)未必不可导；

2．设 ，则 的值等于           .

（A）0； （B）－2－27；  （C）2－272－27；  （D）227

3．设f (x) 在[a, b]上连续，积分中值定理： 中的 是           .

（A）[a, b]上任一点；            （B）在[a, b]上至少存在某一点；

（C）[a, b]上唯一的某一点；      （D）[a, b]上的中点

4．设函数y = f (x)可导，且 ，则当 时，该函数在x0处的微分是       .

（A）Δx的等阶无穷小；         （B）Δx的同阶无穷小；

（C）Δx的高阶无穷小；         （D）Δx的低阶无穷小

二、填空题：（14分）

1． =           .

2．函数 在[-1，1]上不能有罗尔定理的结论，其原因是由于f (x)不满足罗尔定理           的条件。

    3．设 ，则           

    4．设 ，则 =          .

    5．由曲线 和直线 所围成的图形绕直线y=－1旋转一周所得旋转体的体积可用定积分表示为          .

    三、计算题（4×3=52分）

    1．求极限 

    2． 

3．求曲线 与x轴所围图形绕x轴旋转一周的旋转体之体积。

4．求极限 .

5． ，求 .

6．求 在x=1处的切线方程.

7．设 ，求 

    8．设 ，且 存在，求f (2).

9．已知 ，求 .

10．求 .

四、若曲线y = f (x)上点(x, y)处的切线斜率与x3成正比例，并知道曲线通过点A (1,6)和B (2,-9)，求该曲线的方程。（4分）

    五、设 讨论f (x)在x = 0处的连续性和可导性。（5分）

六、设f (x)在[0,1]上连续，且0< f (x)<1，求证方程 在（0,1）内有且只有一个实根。（4分）

七、求通过点（0,0）点（1,2）的抛物线，它满足如下条件：

①对称轴平行于y轴，且图形是凸的。

②它与x轴所围成的面积最小。（5分）

八、设函数f (x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，且 .证明     （4分）