第六讲 整数拆分

整数的加法拆分

加法拆分定义：

把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和（如312），或拆分成几个不相同的数的和，这类题目统称为整数的拆分。

加法拆分目的：

拆分不是目的，目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。

要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题，同时也能通过拆分解决一些应用问题。

【例1】小兵和小军用玩具做打靶游戏，见下图所示。他们每人打了两发子弹。小兵共打中6环，小军共打中5环。又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。你知道他俩打中的都是哪几环吗？

例1图

【巩固】强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱   靶现象)。强强两发共打了12环，明明两发共打了8环。又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环？

巩固图

【例2】有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？

【巩固】将12拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。

【例3】有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？

【巩固】按下面的要求，把自然数6进行拆分。

⑴把6拆成几个自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？

⑵把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？

⑶把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？

【例4】按下面的要求，把15进行拆分。

⑴将15拆分成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同拆分方式，请一一列出。

⑵将15拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请一一列出。

【巩固】将15拆分成四个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。

【例5】有七个盘子，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9个梨。要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿。共有多少种不同的拿法？

【巩固】某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢，他又将如何付款？

【例6】猪妈妈让小猪三兄弟去摘野果，它要求三兄弟一共要摘10个，每只小猪至少摘2个，按照妈妈的要求，现在小猪们要分配任务了，它们有多少种不同的分配方法？

【巩固】体育课上，10个小朋友分成三组做游戏，一共有多少种不同的分组方法？

〖答案〗

【例1】 小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环 

【巩固】明明打中的是6环和2环，强强打中的是8环和4环

【例2】 997

【巩固】 12129    12138     12147      12156      12345

                                          237        246 

         共8种

【例3】 11

【巩固】 ⑴ 10种，⑵ 7种，⑶ 3种

【例4】⑴ 将15拆分成不大于9的三个不同的自然数

          15951     15861      15762       15654

            942       852        753 

                            843 

共8种

⑵将15拆分成三个不同的自然数相加之和

151221 151131 15104l  15951   1586l   15762  

1032    942     852     753

843

15654                                 

     共12种                                      

【巩固】 151239             151347              152346  

           1248               1356

           1257

共6种拆分方法

【例5】 7种 

【巩固】这道题目的实质是要求把7，9，10，13，14，15各数按1，2，4，8进行拆分。

　　    7124

　　    918

　　    1028

　　    13148

　　    14248

　　    151248

外星人可按以上方式付款

【例6】 4种

【巩固】 8种

整数分拆之最值与应用

一、拆分的基础知识

整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。

二、拆分基本方法

1.题目要求拆质数且乘积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后乘积最大”原则。

2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大

应将数列拆分成：a234…的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则：

⑴当多0时，将a拆成a234… (n-1) n；

⑵当多1时，将a拆成a345… (n-1) ( n-1)；

⑶当多2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。

　     例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？

234567835

比30大5，故将5去掉

30被拆成234678

【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？

【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？

【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。

【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。

【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。

【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。

【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。

【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有            种不同的做法，其中面积最大的是哪一种长方形？

【巩固】有长方形和正方形三块地。它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25米。这三块中哪一块地最大？面积是多少？

【例5】把14拆分成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何拆分？这个最大的乘积是多少？

【巩固】分别拆分2001、1994、1993三个数，使拆分后的积最大。

【例6】把72拆分成若干个互不相等的自然数之和，且使所有加数的乘积尽可能大，如何拆分？

【巩固】把1993拆分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？

〖答案〗

【例1】将15进行拆分，并计算乘积

15114      11414

        15213      21326

15312      31236

        15411      41144

        15510      51050

        1569       6954

        1578       7856

 15拆分成7和8的和，乘积最大，是56 

【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时

有110，29，38，47，56五种方法

它们的乘积分别是：11010，2918，3824，4728，5630

　       显然，把11拆分成56时

有最大的积5630

【巩固2】把14拆分成两个自然数之和，共有7种不同的方式

若想乘积最大

         1477，7749

         因此，当把14拆分为两个7之和的时候，乘积(7749)最大

【例2】⑴由例1的说明对于两个数可知，假设nab (a≥b)且ab＞1时，乘积ab不是最大的。

换句话说，若nab (a≥b)，当a、b两数相等或差为1时，乘积ab取最大值。

⑵那么对于三个数呢？

假设nabc (a≥b≥c)且ac＞1时，乘积abc不是最大的。

若nabc (a≥b≥c)，当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积abc取最大值。

       因为14342，

由分析可知：当ab5且c4时

乘积abc554100为最大值

【巩固】利用上面的结论可知，若nabc (a≥b≥c)

当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积abc取最大值

由分析可知：当ab6且c7时

乘积abc667252为最大值

【例3】反复使用上述结论，可知要使拆分成的8个自然数的乘积最大

必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1

因为1999÷8249…7，199982497

由上述分析，拆法应是1个249，7个250

其乘积2492507为最大

【巩固】利用例题3的结论：可知要使拆分成的6个自然数的乘积最大

必须使这6个数中的任意两数相等或差数为1

因为155362585

由上述分析，拆法应是1个258，5个259

其乘积2582595为最大

【例4】36种，当长与宽都是36厘米时,面积最大                                   

【巩固】边长是25的正方形的地面积最大，是625平方米

【例5】根据上面的讨论结果，我们应该把14拆分成四个3与一个2之和

即1433332

这五数的积有最大值33332162 

【巩固】⑴∵20016673

       ∴2001拆分成(667个3的和)时，其积最大

⑵∵1994632

          ∴1994拆分成(6个3的和) 2时，其积最大

   ⑶∵1993631

          ∴1993拆分成时，其积最大

【例6】为使所有加数的乘积最大，显然要使加数的个数尽可能多，每个加数尽可能小，但又不能是1，

所以应将72拆分成从2开始的若干个连续自然数。

 因为：234…1165＜72

234…1277＞72

77725，所以从加数中去掉5

即：4823467101112

最多可以拆成10项

【巩固】 23…212324…63