初三升高一数学(一)

★ 专题一  数与式的运算

例1  解下列不等式：（1）     （2）＞4．

例2  计算： 

（1）                 （2）

（3）        （4）

例3  已知，求的值．

例4  已知，求的值．

例5  计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：

（1）             （2） 

（3）            （4） 

例6  设，求的值．

例7  化简：（1）      （2）

【巩固练习】

1．解不等式  

2．设，求代数式的值．

3．当，求的值．

4．设，求的值．

5．计算

6．化简或计算：

    (1)              (2) 

    (3)             (4) 

★ 专题二  因式分解

【例题选讲】

例1  （公式法）分解因式：(1)；(2) 

例2  （分组分解法）分解因式：（1）     （2）

例3  （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)       (2) 

                                        (3)         (4) 

例4  （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)    ；(2) 

例5  （拆项法）分解因式

【巩固练习】

1．把下列各式分解因式：

(1)                       (2) 

(3)              (4)                (5) 

2．已知，求代数式的值．

3．现给出三个多项式，，，，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.

4．已知，求证：．

★ 专题三   一元二次方程根与系数的关系

【例题选讲】

例1  已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：

    （1）方程有两个不相等的实数根；    （2）方程有两个相等的实数根

    （3）方程有实数根；            （4）方程无实数根．

例2  已知实数、满足，试求、的值．

例3  若是方程的两个根，试求下列各式的值：

    (1)；    (2)；    (3)；        (4)．

例4  已知是一元二次方程的两个实数根．

(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

(2) 求使的值为整数的实数的整数值．

【巩固练习】

1．若是方程的两个根，则的值为(    )

    A．            B．                C．                D． 

2．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是(    )

    A．        B．            C．            D．大小关系不能确定

3．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= ___ __ ， = _  ____ ．

4．已知实数满足，则= ___ __ ， = _____ ， = _____ ．

5．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11，求证：关于的方程有实数根．

6．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．

    (1) 求实数的取值范围；(2) 若，求的值．

★专题四  平面直角坐标系、一次函数、反比例函数

【例题选讲】

例1 已知、，根据下列条件，求出、点坐标．

(1)、关于x轴对称；(2)、关于y轴对称；(3)、关于原点对称．

例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于、两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。

例3如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

【巩固练习】

1．函数与在同一坐标系内的图象可以是（    ） 

2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知，，求点的坐标．　

3．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．

（1）求的值；

（2）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．

★专题五  二次函数

【例题选讲】

例1  求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

例2  某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：

例3  已知函数，其中，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值． 

例4  根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）；

（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2；

（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．

 例5  在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．

【巩固练习】

1．选择题：

（1）把函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是                     （    ）

   （A）（－1，4）   （B）（－1，－4）   （C）（1，－4）    （D）（1，4）

（2）函数y＝－x2＋4x＋6的最值情况是                             （    ）

   （A）有最大值6                     （B）有最小值6   

   （C）有最大值10                    （D）有最大值2

（3）函数y＝2x2＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是     （    ）

   （A）－3≤y≤1                      （B）－7≤y≤1  

   （C）－7≤y≤11                     （D）－7≤y＜11   

2．填空：

（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为                   ．

（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为               ．

3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，），B（1，0），C（，2）；

（2）已知抛物线的顶点为（1，），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（，0），（5，0），且与y轴交于点（0，）；

（4）已知抛物线的顶点为（3，），且与x轴两交点间的距离为4．

4．如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？

5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．

（1）求函数y的解析式；

（2）画出函数y的图像；

    （3）求函数y的取值范围．

★ 专题六  二次函数的最值问题

 【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

 （1）；        （2）．

例2当时，求函数的最大值和最小值．

例3当时，求函数的取值范围．

例4当时，求函数的最小值(其中为常数)．

例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；

(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

【巩固练习】

1．抛物线，当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．

3．设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．

4．已知函数在上的最大值为4，求的值．

5．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)．

★ 专题七  不 等 式

【例题选讲】

例1   解下列不等式：(1)                (2) 

例2  解下列不等式：(1)        (2)        (3) 

例3  已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围．

例4  解下列不等式：    (1)                (2) 

例5  求关于的不等式的解．

【巩固练习】

1．解下列不等式：

    (1)                        (2)    

    (3)                    (4) 

2．解下列不等式：

    (1)         (2)     (3)     (4) 

3．解下列不等式：

    (1)                    (2) 

4．解关于的不等式．

5．已知关于的不等式的解是一切实数，求的取值范围．

6．若不等式的解是，求的值．

7．取何值时，代数式的值不小于0？

● 各专题参 ●

专题一数与式的运算参

例1 （1）解法1：由，得；

①若，不等式可变为，即； ②若，不等式可变为，即，解得：．综上所述，原不等式的解为．

解法2：表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为．

解法3：，所以原不等式的解为．

（2）解法一：由，得；由，得；

①若，不等式可变为，即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可变为，即1＞4，∴不存在满足条件的x；

③若，不等式可变为，即＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．

综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．

解法二：如图，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．

所以，不等式＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，

可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．

所以原不等式的解为x＜0，或x＞4．

例2（1）解：原式=

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．

（2）原式=

（3）原式=

（4）原式=

例3解：    

原式=

例4解： 

原式=  ①

②，把②代入①得原式=

例5解：（1）原式=

     （2）原式=

说明：注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

（3）原式=

（4） 原式=

例6解： 

原式=

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．

【巩固练习】

 1．   2．     3．或        4． 

  5．   6． 

专题二因式分解答案

例1分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是或．

解：(1)．

(2)  

例2（1）分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解： 

（2）分析：先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．

解： 

例5  解： 

【巩固练习】

1． 

．

2．；     

3． 

其他情况如下：；

.

4． 

专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案

例1解：∵，∴(1)； (2)；    (3)；(4)．

例2解：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得： 

由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：，

代入原方程得：．综上知： 

例3解：由题意，根据根与系数的关系得： 

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，，，等等．韦达定理体现了整体思想．

【巩固练习】

1． A；  2．A；  3．；   4．；  5．    (1)当时，方程为，有实根；(2) 当时，也有实根．6．(1)；     (2)．

专题四  平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参

例1 解：(1)因为、关于x轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以，，则、．

(2)因为、关于y轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，，，则、．

(3)因为、关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以，，则、．

例2分析：因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为b＝2，所以直线与y轴交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面积为2，由此可推算出OA＝2，而直线过第二象限，所以A点坐标为（－2，0），由A、B两点坐标可求出此一次函数的表达式。

解：∵B是直线y＝kx＋2与y轴交点，∴B（0，2），∴OB＝2， 

，过第二象限， 

【巩固练习】

1． B   2． D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．  3．（1）．（2）点的坐标是或．

专题五二次函数参

例1 解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；

当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；

当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；

采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

例2  分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．

解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B），将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有  解得  k＝－1，b＝200．∴  y＝－x＋200．

设每天的利润为z（元），则z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，

∴当x＝160时，z取最大值1600．

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．

例3  分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．

  解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；

    （2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；

（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；

（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

例4（1）分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴，解得a＝－2．

∴二次函数的解析式为，即y＝－2x2＋8x－7．

 说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

（2） 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，展开，得   y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函数的表达式为y＝，或y＝－．

分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．

解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．

说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

（3）解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

   解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．

【巩固练习】

1．（1）D   （2）C  （3）D     2．（1）y＝x2＋x－2    （2）y＝－x2＋2x＋3

3．（1）．（2）．

 （3）．（4）

4．当长为6m，宽为3m时，矩形的面积最大．

5．（1）函数f（x）的解析式为   

（2）函数y的图像如图所示

（3）由函数图像可知，函数y的取值范围是0＜y≤2．

专题六二次函数的最值问题参

例1分析：由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．

解：（1）因为二次函数中的二次项系数2＞0，所以抛物线有最低点，即函数有最小值．因为=，所以当时，函数有最小值是．

（2）因为二次函数中的二次项系数-1＜0，所以抛物线有最高点，即函数有最大值．因为=，所以当时，函数有最大值．

例2解：作出函数的图象．当时，，当时，．

说明：二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

例3解：作出函数在内的图象．

可以看出：当时，，无最大值．所以，当时，函数的取值范围是．

例5解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为元，那么件的销售利润为，又． 

(2) 由(1)知对称轴为，位于的范围内，另抛物线开口向下

当时， 

当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

【巩固练习】

1．4  14或2，   2．      3．．     4．或．

5．当时，，此时；当时，，此时．

专题七不等式答案

例2解：(1) 不等式可化为∴ 不等式的解是

(2) 不等式可化为    ∴ 不等式的解是；(3) 不等式可化为．

例3解：显然不合题意，于是： 

例4分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解． (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．

解：(1) 解法(一)原不等式可化为： 

 解法(二) 原不等式可化为：．

(2) 解：原不等式可化为： 

说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．

      (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 

【巩固练习】

1．；

2．；

3．(1) 无解  (2) 全体实数

4．(1)当时，；(2)当时，；(3) 当时，取全体实数．

5．；     6．       7．．